文档介绍：第五章****题第一部分01-15M为线性空间X的子集,证明span(M)是包含M的最小线性子空间.[证明]显然span(M),(M)的定义,可直接验证span(M) (M),证明nconv(B)={ aixi|ai0,i1n[证明]设A={ aiXjai 0,i1nai=1,xiB,n为自然数}.i1nai=1,xiB,n为自然数}.首先容易i1看出A为包含B的凸集,设F也是包含B的凸集,则显然有AF,[a,b]上的多项式全体P[a,b]是无限维线性空间,而E={1,t,t,…,tn,…} 是它的一个基底.[证明]首先可以直接证明P[a,b]按通常的函数加法和数乘构成线性空间,而P[a,b],C1,C2,..., Cm是m+1个实数,其中Cm0,=0,由代数学基本定理知Co=C1=C2=...= Cm=0,n0所以E中任意有限个元素线性无关,故P[a,b]是无限维线性空间,而E是它的一个基底。22在中对任意的x=(X1,X2),定义||x||1=|X1|+|X2|,||x||2=(X12+X22)1/2,||x||=max{|x1|,|X2|}.证明它们都是 2中的范数,并画出各自单位球的图形.[证明]证明是直接的,,L为它的线性子空间。证明cl(L)也是X的线性子空间.[证明]x,ycl(L),a,存在L中的序列{Xn},{yn}使得Xn x,yn +y=lim Xn+limy=lim(Xn+yn)cl(L),ax=alimXn=lim(aXn) cl(L).所以cl(L)是X的线性子空间.[注]这里cl(L),M为它的闭线性子空间,:L={aX0+y|yMa }也是X的闭线性子空间.[证明]若a,b ,y, zM使得ax°+ y= bx°+z,则(a b)X0=zyM,得到a=b,y= z;{anX0+yn}收敛于X中某点z,则序列{anX0+yn},xo M,故存在r>0,使得||xo y||r, 0时有|anI=| anI•r•(1/r)|an|•||xo+yn/an|| •(1/r)=||anxo+yn|| •(1/r),所以数列{an}有界,故存在{an}的子列{an(k)}使得an(k) (q=(anxo+yn) L,所以L闭.[注]在此题的证明过程中,并未用到“X为完备的”:,||?||1,||?||2与||?||都是等价范数;b.|| ?||i与||?||2是等价范数的充要条件是:X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性.[证明]||x|| ||x||2 ||x||1 2||x||,所以||?||1,||?||2与||?||,{||x||21||x||1=1}{||x||2|||x||1=