文档介绍：对称矩阵的标准型 - 对称矩阵的标准形
一、实对称矩阵的一些性质
引理1 设A是实对称矩阵，那么A的特征值皆为实数．
证：设 是A的任意一个特征值，则有非零向量
满足
其中 为 的共轭复数，
令
又由A实对称，有
由于 是非零复向量，必有
故
考察等式，
引理2 设A是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间 上
定义一个线性变换 如下：
则对任意 有
或
证：取 的一组标准正交基，
则 在基 下的矩阵为A，即
任取
即
于是
又 是标准正交基，
即有
又注意到在 中
二、对称变换
1．定义
则称 为对称变换．
设 为欧氏空间V中的线性变换，如果满足
1〕n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在
标准正交基下是相互确定的：
2．根本性质
① 实对称矩阵可确定一个对称变换．
一组标准正交基．
事实上，设
为V的
定义V的线性变换 ：
则 即为V的对称变换．