相似矩阵矩阵可对角化的条件.ppt

文档介绍：§2 矩阵可对角化的条件
一、相似矩阵及其性质
二、矩阵可对角化的条件
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一、相似矩阵及其性质
设A, B均为n阶方阵, 若可逆矩阵P, 使得
P1AP = B, ()
则称A与B相似, 记作AB.
基本性质
1) 反身性;
若AB, 则
|A| = |B|;
2) R(A) = R(B);
3) A1 B1, A, B均可逆.
2) 对称性;
3) 传递性.
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若
推论
若AB, 则A与B的特征多项式相同,
从而A与B的特征值亦相同.
证明 AB  可逆阵P, 使得P1AP = B,
则l1, l2, …,ln 是A的n个特征值.
若AB, 则AmBm, mZ.
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A与对角矩阵相似  A有n个线性无关的特征向量.
证明 “” 设可逆阵P, 使 P1AP = L 为对角阵.
将P按列分块: P = (p1, p2, …, pn),
因而有
于是有 Api = li pi, i = 1, 2, …, n.
二、矩阵可对角化的条件
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“” 设p1, p2, …, pn为A的n个线性无关的特征向量,则有Api = li pi, i = 1, 2, …, n.
即
即AP = PL .
又P可逆, 则有 P1AP = L 为对角阵.
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若An的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似．
注1 A可对角化, 但A未必有n个相异的特征值,
如aE 可对角化, 但其只有一个n重特征值.
注2 若A的特征方程有重根, 此时不一定有n个线性
无关的特征向量, 从而A不一定可对角化, 但若能
找到n个线性无关的特征向量, 则A仍可对角化.
设li为An的 ni重特征值, i = 1, 2, …, m,
n1+ n2+…+ nm= n, 则
AnL (对角矩阵)  R(liEA) = nni .
证明 “” AnL  可逆阵P使P 1AP = L ,
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即
即pij, i =1, …, m, j = 1, …, ni 是方程组
的解.
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则
“”
的基础解系有ni个线性无关的向量
矛盾
因AL, ,
若
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A能否对角化? 若能对角化, 则求出可逆矩阵P,
使P 1AP为对角阵.
设
解
故A的全部特征值为l1 = l2 = 1, l3 = 2,
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将l1 = l2 = 1代入方程组(lEA)x = 0 ,
解之得基础解系 x1 = (2, 1, 0)T, x2 = (0, 0, 1)T.
将l3 = 2 代入方程组(lEA)x = 0 ,
其基础解系为x3 = (01, 1, 1)T.
由于x1, x2, x3线性无关, 则A可对角化.
令
故
注 若令
即P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要对应.
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