文档介绍：函数的奇偶性
1. 偶函数奇函数
:
:
如果对于如果对于
f(x)
f(x)
定义域内的任意一个定义域内的任意一个
x, 都有
x, 都有
f(-x)=f(x), f(-x)=-f(x) ,
那么函数
那么函数
f(x)
f(x)
就叫偶函数
就叫奇函数
.
.
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于
y 轴 对称
判断函数的奇偶性 , 包括两个必备条件 : 一是定义域关于原点对称 , 这是函数具有奇偶性的必要不充分条件 , 所
以先考虑定义域是解决问题的前提， 如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称， 那么这个函数就失去了是奇函
数或是偶函数的条件； 二是判断 f(x) 与 f(-x) 是否具有等量关系 . 在判断奇偶性的运算中 , 可以转化为判断奇偶性
的等价等量关系式 (f(x)+f(-x)=0( 奇函数 ) 或 f(x)-f(-x)=0( 偶函数 )) 是否成立 .
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
(1) 首先确定函数的定义域，
并判断其定义域是否关于原点对称；
(2) 确定
f(
－ x)
与
f(x)
的关系；
(3) 作出相应结论．
说明：根据奇偶性
, 函数可划分为四类：
①偶函数
②奇函数
③既奇又偶函数
④非奇非偶函数
2. 偶函数的性质：
○
定义域关于原点对称；
○
f(-x)=f(x)
或 f(-x)-f(x)=0
○
图象关于 y 轴对称；
○
在关于
1
2
3
4
原点对称的区间上具有相反的单调性。
○
○
○
奇函数的性质：
○
定义域关于原点对称；
f(-x)=-f(x)
或 f(-x)+f(x)=0
；
在关
1
2
3 图象关于原点对称；
4
于原点对称的区间上具有相同的单调性；
○
如果 0 在 f(x)
的定义域内，则一定有
f(0)=0
5
3. 判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在
x 轴上所示的区间是否关于原点对称呢？答：
由定义知， 若
x 是定义
域内的一个元素，－
x 也一定是定义域内的一个元素，所以函数
y＝f ( x) 具有奇偶性的一个必不可少的条件是：
定义域在 x 轴上所示的区间关于原点对称．即：如果所给函数的定义域在 x 轴上所示的区间不是关于原点对称，
3
这个函数一定不具有奇偶性． 例如：函数 f(x) ＝ x 在 R上是奇函数， 但在 [ － 2,1] 上既不是奇函数也不是偶函数．
4. 函数奇偶性的判断： 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提