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“等时圆”模型的规律及应用
等时圆模型(如图所示)
图a 图b
等时圆规律:
1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下,滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。(如图a)
2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下,滑到圆的底端的时间相等。(如图b)
3、沿不同的弦轨道运动的时间相等,都等于小球沿竖直直径()自由落体的时间,即
(式中R为圆的半径。)
三、等时性的证明
设某一条弦与水平方向的夹角为,圆的直径为(如右图)。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动,加速度为,位移为,所以运动时间为
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即沿各条弦运动具有等时性,运动时间与弦的倾角、长短无关。
四、应用等时圆模型解典型例题
例1:如图1,通过空间任一点A可作无限多个斜面,若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下,那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是( )
【解析】:由“等时圆”可知,同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上,所以A正确。
O
A
B
L
L
D
图2
例2:如图2,在斜坡上有一根旗杆长为L,现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部,又知OB=L。求小环从A滑到B的时间。
【解析】:可以以O为圆心,以 L为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知,从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间,所以有
例3:如图5所示,在同一竖直线上有A、B两点,相距为h,B点离地高度为H,现在要在地面上寻找一点P,使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板,满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等,求O、P两点之间的距离。
图6
A
B
P
H
h
O
O1
A
B
P
H
h
O
图5
解析:由“等时圆”特征可知,当A、B处于等时圆周上,且P点处于等时圆的最低点时,即能满足题设要求。
如图6所示,此时等时圆的半径为:
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所以
P
A
θ
B
图8
C
O
例4:如图7, AB是一倾角为θ的输送带,P处为原料输入口,为避免粉尘飞扬,在P与AB输送带间建立一管道(假使光滑),使原料从P处以最短的时间到达输送带上,则管道与竖直方向的夹角应为多大?
A
θ
B
图7
P
解析:借助“等时圆”,可以过P点的竖直线为半径作圆,要求该圆与输送带AB相切,如图所示,C为切点,O为圆心。显然,沿着PC弦建立管道,原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而,要使原料从P处到达输送带上所用时间最短,需沿着PC建立管道。由几何关系可得:PC与竖直方向间的夹角等于θ/ 2。
三、“形似质异”问题的区分
1、还是