文档介绍：注：排列是“排成一排”，组合是“并成一组”，前者有序而后者无序.
排列与组合
⑷组合数的两个性质：
C ； 从〃个不同元素中取出m个元素后就剩下〃-m个元素，因此从〃个不
同元素中取出个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.
Cm~\+C 根据组合定义与加法原理得；在确定”+1个不同元素中取m个
元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下 的〃个元素中再取m-1个元素，所以有C"：,如果不取这一元素，则需从剩余凡个元素 中取出m个元素，所以共有C：种，依分类原理有C%+C腭C希.
解排列、组合题的基本策略与方法
排列、组合问题几大解题方法： ①直接法；②排除法；
捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之 后再考虑它们“局部”“元素相邻问题”；
插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此 法主要解决“元素不相邻问题”.
占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般 元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置. 即采用“先特殊后一般”的解题原则.
调序法：当某些元素次序一定时，：先将〃个元素进行全排列有
种，m(m < n)个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取 其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若〃个元素排成一列，其中农 个元素次序一定，共有al种排列方法.
排列组合常见解题策略：
①特殊元素优先安排策略； ②合理分类与准确分步策略；
排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列)；
正难则反，等价转化策略； ⑤相邻问题插空处理策略；
⑥不相邻问题插空处理策略； ⑦定序问题除法处理策略；
⑧分排问题直排处理的策略； ⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；
⑩构造模型的策略.
二项式定理：
⑴对于〃 EN* , (。+幻+ + a + + 这个公
式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(。+幻〃的展开式.
注:展开式具有以下特点：
项数：共有，+1项；
系数：依次为组合数必念慈,…,
且每一项的次数是一样的，即为〃次，展开式依。的降幕排列，b的升幕排列展开.
⑵二项展开式的通项：0+呀的展开式第r+1为兀KqVT/XOWrWvfZ).
⑶二项式系数的性质.
二项展开式中的C； (r = 0,1,2, • • • /)叫做9顼3季数
在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
数学基础知识与典型例题
(第十章排列、组合、概率与统计)
：完成一件事，有〃类办法，在第1类办法中有秫1种不同的方法，在第2类办法
中有刀2种不同的方法， ,在第n类办法中有秫〃种不同的方法，那么完成这件事共有N=
〃1+"2+"3+…+叫 种不同的方法.
排列与组合
分步计数原理:完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有Tn】种不同的方法，做第二步有农2种 不同的方法,……，做第〃步有秫〃种不同的方法，那么完成这件事共有N=ni-n2-n.—nM种不同的方法.
注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组 合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行 计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能 完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性； 利用分步计数原理，重在分步；，常先 分类再分步。
(1)排列的定义：从〃个不同的元素中任取个元素，哲甄丁定顺序排成一列，叫做从〃个 不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列数的定义：从〃个不同元素中取出个元素排成一列，称为从〃个不同元素中取出m 〃个不同元素中取出m个元素的一个排列数，* , 并且mW”.
⑶排列数公式：A： = - I)- -(n-m +1)=—————(jnWn,n,ineN)
当秫二〃时，排列称为全排歹1),排列数为=〃x(〃-l)x...x2xl记为〃!，且规定0!=1.
注：〃•汨=(〃 + 1)!-〃！ ;
⑴组合的定义：从〃个不同的元素中任取个元素并成一组，叫做从〃个不同元素中取出 m个元素的一个组合.
⑵组合数的定义：从〃个不同的元素中取出初伽W”)个元素的所有组合数，叫做从〃个不同元素中 ；表示.
⑶组合数公式：顷¥：