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空间向量知识要点
已知向量a，
T T
（1）a b 二
向量b，单位向量e
a b cos^ a, b
其中COS
T T
a,b
表示向量
(2)
b夹角。
T T
a e =
T T
cos a,e
(3)
T
b= 0
(4)
T T
a a,
f T、T
(5) a b =
# / 5
# / 5
(6)
（交换律）
T T T T
# / 5
# / 5
a b a b （分配律）注意:
不满足结合律
# / 5
# / 5
上述运算法则依然适用于空间向量空间向量的坐标表示及运算法则（坐标表示的前提是向量的起点为原点）如右图，空间直角坐标系中，
T T T T
有 a = a1 r a2 j a3k，
T T T
其中i、j、k分别为x、y、
T
的单位向量，则记为a= a1,a2,a3 ，
T
这就是a的坐标表示。
T
运算法则：设 a = a1, a2, a3 ， b = b1, b2, b3 贝U
# / 5
① a b 二印 d,a2 d, a3 b3
T T
② a b = a〔 d, a2 b2, a3 R
T
③ .a
a「 a?, a3
T T
④ a b =a1b1 a2q a3b3
T T
⑤ a//b二 a1 = ^且a2 = b2且a3 =
T
⑥ a -
b u a1t1 a2b2 a3b3 = 0
⑧cos
2 2 2
a 1 a 2 a 3
b 12 b 22 b 32
T T
a, b
a1b1 a2b2 a3b3
a； a； a3 b： b； b3
已知点A人，％,乙与点B X2,y2,Z2则有
⑨ AB= X2 x「y2 %,Z2 z
2 2 2
AB = « x2 %）十（y2 比）十（z2 乙）
相关应用
一、证明方面:
T T
已知a、0为两个不同平面，n1，n2分别它们的法向量，I是
T
一条直线，I的方向向量为a，则有:
T T
1、I / /等价于I二：，且a nv
2 / 5
2、 \- 等价于a//n1
T T
3、 // 等价于 nJ /n2,
T T
4、： _ -等价于 n, _ n2 其中平行可以通过共线进行判断, 垂直可以通过数量积进行判断。
二、计算方面：
T T
1、平面的法向量的求法：