文档介绍：第 5 炼 函数的对称性与周期性
一、基础知识
（一）函数的对称性
1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或
对称中心）对称
2、轴对称的等价描述：
（1） f
a
x
f
a
x
f x
（2） f
a
x
f
b
x
f x
关于
关于
a 轴对称（当 a 0 时，恰好就是偶函数）
a b
x 轴对称
2
在已知对称轴的情况下，构造形如
f
a
x
f
b
x
的等式只需注意两点，一是等
式两侧 f
前面的符号相同，且括号内
x 前面的符号相反；二是
a, b 的取值保证 x
a b
为
2
所 给 对 称 轴 即 可 。 例 如 ： f x
关 于 x
1轴对称
f x
f 2 x ， 或 得 到
f 3 x
f
1 x 均可，只是在求函数值方面，一侧是
f
x 更为方便
（3） f
x a 是偶函数，则 f x
a
f
x
a
，进而可得到：
f
x 关于 x
a 轴对
称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，
函数值相等， 所以在 f
x
a 中， x 仅是括号中的
一部分，偶函数只是指其中的
x 取相反数时，函数值相等，即
f
x
a
f
x
a ，要
与以下的命题区分：
若 f x
是偶函数，则 f x
a
f
x
a
： f
x
是偶函数中的
x 占据整个括号，
所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有
f
x
a
f
x
a
② 本结论也可通过图像变换来理解，
f
x
a
是偶函数，则
f
x
a
关于 x
0
轴对称，
而 f x
可视为 f
x a 平移了 a
个单位（方向由 a 的符号决定） ，所以 f
x
关于 x a
对称。
在已知对称中心的情况下，
构造形如 f a
x
f
b x
的等式同样需注意两点， 一
是等式两侧
f 和 x 前面的符号均相反；二是
a,b 的取值保证 x
a
b
2
为所给对称中心即
可。例如：
f x
关 于
1,0
中心对称
f x
f
2
x
，或得到
f 3
x
f
5
x 均可，同样在求函数值方面，一侧是
f
x
更为方便
（3） f
x
a
是奇函数，则
f x
a
f
x a ，进而可得到：
f
x
关于
a,0 中
心对称。
① 要注意奇函数是指自变量取相反数，
函数值相反， 所以在 f
x
a
中， x 仅是括号中的
一部分，奇函数只是指其中的
x 取相反数时，函数值相反，即
f
x
a
f
x
a ，要
与以下的命题区分：
若 f x
是奇函数，则
f x
a
f
x
a
： f
x 是奇函数中的
x 占据整个括号，
所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有
f x
a
f
x
a
② 本结论也可通过图像变换来理解，
f
x
a
是奇函数，则
f
x
a
关于
0,0
中心对
称，而 f x
可视为 f
x a
平移了 a
个单位（方向由
a 的符号决定） ，所以 f
x 关于
a,0 对称。
4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部” ，即一旦函数具备对称性，则只需要
分析一侧