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第2章习题参考答案
A类
1、 ( 1) (C) ； (2) (A) ; ( 3 ) (C) ； (4) (B) ; (5) (D)。
2、 ( 1) [0,1]，空集,[0,1] ； (2)巳趴(0, y)： |y| ； (3) (1,6) ； (4)公共；(5) Ec。
3、证明：(1)必要性设P0 e E，则>0，邻域N(R),6厂| E中有无穷多个点。现设Re N(P,6),
则0 0 =d(P, R) 。故泸 N(P0,6 —9，有
d(y,P)乞d(y,R)) d(R),P)- -。
所以N(F0,6 —H)u N(P,6),而N(P,6 —“厂|E有无穷多个E中的点，自然有异于 P0的点 PEN(P3,6 -)riE u N(P,6)。而N(R,6 —口厂|(E—{R})是无穷点集，故N(PQ)中有无穷多个异于F0的e中的点。
充分性若任意含F0的邻域N(P,6)中恒有异于F0的点P^E，则>0，N(P0,5)中有异于P
的点P w E，记d(P,P)) = 61，显然<6，于是邻域N(P),①)中又有异于P)和P的点R w E，
而d(P,，P)^ J ”：「：，这样下去，可得无穷点集
这表明N(P0,-：)中有无穷多个e中的点，由、：的任意性知，P0 •二E'。
(2)必要性显然。
充分性若存在包含R的邻域N(P,、〔) E,则N(P)^ -d(P,P0)) N(Pr ) E，故R为e的
内点。
4、仿第3题。
5、证明：记B为E的孤立点全体，则E _ B = e'，所以E =(E _ B)UB =E‘U B，而B至多可数，则当e'有限时 e'Ub 是至多可数的，从而 E至多可数，矛盾。
6、证明：因为E为闭集，则E' E，而E -E〔所以E = E。反之，因为E = E = E _• E '，所以，E' E，即 E为闭集。
7、证明：对任意E ={x f (x) >a}，有f (x) >a，由连续函数的局部保号性，存在 B(x,6)，使对任意 y B(xr )，有f(y) a，即 * E，所以，B(xr ) E，即x为E的内点。所以 E={xf(x)>a}为开集。又 FCTxfaFalhxVfxaanE 是开集，所以，
F ={ x f(护和闭集。同法可证 {x f (x) <a} 为开集， {x f (x)^a} 为闭集。
8、证明：反证法。假定 E =｛Xi,X2，川，Xn,|||｝，作闭区间li：Xi是I 1的内点，因Xi不是孤立点，所
以存在E中点y2 : y2是11的内点。作以y2为中心的闭区间12 ： 12 4且为：T2。
同理，又有E中点y3 : y3是丨2的内点以及科3= X2，再作以y3为中心的闭区间丨3 :丨3二丨2且X^' I 3，
易知l3「|E = ,如此进行下去，可得闭区间列｛In｝：
现记Kn = ln P|E，则｛ Kn｝是有界闭集列，且Kn厂一 Kn （n = 1,2,川），因每个Kn均为E的子集，
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且人「一 ln 4，所以Kn =以，这显然与E是完备集矛盾。证毕。
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