弹塑形有限元.ppt

文档介绍：弹塑形有限元

哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作
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虚力原理与余能原理
虚位移原理和势能原理（复习）
1） 虚位移原理的虚功方程——矩阵表达
δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+ ∫Sσ[Fs]Tδ[u]dS
=δWi=∫V[σ]Tδ[ε]dV
体积力虚功
表面力虚功
虚变形功
δWe=∫VFbiδuidV+ ∫SσFsiδuidS
=δWi=∫VσijδεijdV
虚功方程——张量表达
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2） 势能原理的数学表达
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
总势能
应变能
外力势能
虚力原理
1）虚力原理的表述
给定位移状态协调的充分必要条件为：对一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成立（矩阵）
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
虚反力功
表面给定位移
虚余变形功
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虚功方程——张量表达
∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS
2) 必要性证明
εij=1/2(ui ,j+uj ,i)=D-1ijklσkl
V：δσij ,j =0 Sσ ：δσijnj=0
已知条件 ：[ε]=[A]T[u]=[D]-1[σ]
V：δ[σ]=[0] Sσ：[L]δ[σ]=[0]
需证明的是：∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS
或张量表达形式已知条件：
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∫V( [A][u])Tδ[σ]dV=
∫S([L]δ[σ])T [u ] dS-∫V([A]δ[σ])T [u ] dV
1/2∫V(ui ,j+uj ,i) δσijdV=
∫SδσijnjuidS-∫V δσij ,juidV
[证明]：利用格林公式
或张量形式格林公式
考虑到虚应力的已知自平衡条件，立即可得
∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS
必要性证毕。
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2) 充分性证明
V：δσij ,j =0 Sσ ：δσijnj=0
已知条件 ：[ε]= [D]-1[σ]
需证明的是：应变εij是协调的。
或张量表达形式 εij=D-1ijklσkl
∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
V：[A]δ[σ]=[0] Sσ：[L]δ[σ]=[0]
[证明] ：因为V：[A]δ[σ]=[0]，所以
对任意 [λ] ∫V ([A]δ[σ])T [λ]dV=[0]
利用格林公式和已知条件可得
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设体内三个虚剪应力任意、独立，另三个正应力满足[A]δ[σ]=[0]。又因为[λ]完全任意，因此可设
∫V( [D] -1[σ]-[A]T[λ ])Tδ[σ]dV
+∫Su([L]δ[σ])T ( [λ]-[u ]0)dS=0
(a)
在此条件下，式(a)由于虚应力的任意、独立性可得
V: [D] -1[σ]-[A]T[λ ]=[0] Su： [λ]-[u ]0=[0]
充分性证毕。
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余能原理
和由虚位移原理导出势能原理一样，由虚力原理
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
可得
δ(1/2∫V[ε]T [σ]dV-∫Su([L] [σ])T [u ]0dS)=0
记VC如下所示，并称为变形体的总余能
VC=1/2∫V[ε]T [σ]dV-∫Su([L] [σ])T [u ]0dS
则由δVC=0可得
在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态为真实应力的充要条件是，变形体的总余能取驻值。对线弹性体，此驻值为最小值。
余能原理
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余能原理等价于协调，表达为
VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS