文档介绍：弹塑形有限元

哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
*
第1页，共32页，编辑于2022年，星期三

哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
*
虚力原理与余能原理
虚位于2022年，星期三

哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
*
余能原理等价于协调，表达为
VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS = min
利用格林公式，立即可证明
Ve+ VC=0
泛函的变换格式（龙驭球提出）
简单来说，势能原理等价平衡，表达为
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
一些预备知识
1) 变量的分类
第9页，共32页，编辑于2022年，星期三

哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
*
除泛函变量外，泛函中的其他变量称为泛函的增广变量。
在余能泛函
VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS
中σij 是泛函变量，其他是增广变量。
泛函中所显含的自变函数称为泛函的泛函变量。
在势能泛函
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS
中ui 是泛函变量，其他是增广变量。
第10页，共32页，编辑于2022年，星期三

哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
*
泛函中泛函变量事先所需满足的条件，称为泛函的强制条件。
在余能泛函中σij 所需满足的平衡条件（内部和边界）即为强制条件。
VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS
2) 泛函所满足的条件
在势能泛函中ui 所满足的协调条件即为强制条件。
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS
第11页，共32页，编辑于2022年，星期三

哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
*
在余能泛函中σij 所对应的应变应满足的协调条件为自然条件。
由返函的变分等于零所导出的条件，称为泛函的自然条件。
在势能泛函中ui 所满足的平衡条件即为自然条件。
在泛函中，泛函变量与增广变量间，或增广变量之间所应满足的条件称为增广条件。
在势能泛函中几何方程和物理方程即为增广条件。
3) 泛函间关系的分类
第12页，共32页，编辑于2022年，星期三

哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
*
如果广义等价的两泛函，其变量和条件均对应相同，称此两泛函为等价的。
两泛函所包含的全部变量、全部条件均相同，但是变量的区分不同，或变量的条件不同等，称此两泛函为广义等价。
如果两泛函等价，且只相差一比例系数，则称这两泛函互等。
泛函的三种变换格式
1) 泛函的放松格式——拉氏乘子法（传统）
基本思路是，将强制条件用拉氏乘子引入泛函，从泛函变分判断拉氏乘子含义，并得到放松了强制条件的多自变量泛函的变换格式。
第13页，共32页，编辑于2022年，星期三

哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
*
2) 增广格式——高阶拉氏乘子法（钱伟长）
教材上介绍了从余能原理得到海林格-赖斯纳二变量广义余能原理的基本步骤，请大家按思路自行推证。只有自己动手，才能真真掌握。
基本思路是，对无条件泛函，将增广条件构造一正定二次型，再乘一待定乘子，从而得到新的增广变量变为泛函变量的无条件泛函。
请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建立的泛函是三变量的无条件泛函。
3) 等价格式——龙驭球格式
基本思路是，用自然条件构造正定二次型，按增广格式建立与原泛函等价的新泛函。
第14页，共32页，编辑于2022年，星期三

哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
*
请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建立的另一泛函也是三变量的无条件泛函。并证明当参数等于1时，将“退化”成两变量的海林格-赖斯纳泛函（差一符号）。
学习的关键在真真掌握原理、方法等的基本思路，从而以便能灵活运用它。上述各种格式的思路就是如此简单，但不亲自做一做，经验证明真真掌握它是不可能的。
4) 换元乘子法（龙驭球）
将增广变量通过增广条件引入泛函，从而增广条件成为强制条件，再用拉氏乘子法放松强制条件，将增广变量引入无条件泛函的方法。
第15页，共32页，编辑于2022年，星期三

哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
*
含可选参数的广义变分原理
含可选参数的广义变分原理
1）变分泛函的