文档介绍：硕士学位论文
分裂步龙格库塔方法的均方稳定性研究
THE STUDY ON MEAN SQUARE STABILITY FOR
SPLIT-STEP RUNGE-KUTTA METHODS
高莉丽
哈尔滨工业大学
2018 年 6 月
国内图书分类号：学校代码：10213
国际图书分类号：密级：公开
理学硕士学位论文
分裂步龙格库塔方法的均方稳定性研究
硕士研究生：高莉丽
导师：张池平教授
申请学位：理学硕士
学科：计算数学
所在单位：数学系
答辩日期：2018 年 6 月
授予学位单位：哈尔滨工业大学
Classified Index:
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Dissertation for the Master Degree in Science
THE STUDY ON MEAN SQUARE STABILITY FOR
SPLIT-STEP RUNGE-KUTTA METHODS
Candidate： Gao Lili
Supervisor： Prof. Zhang Chiping
Academic Degree Applied for： Master of Science
Speciality： Computational Mathematics
Affiliation： Department of Mathematics
Date of Defence： June, 2018
Degree-Conferring-Institution： Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
摘要
近年来，基于分裂步思想求解随机微分方程的龙格库塔方法一直都倍受人们
的广泛关注。事实上，龙格库塔方法是一种非常重要的求解微分方程的数值方法，
而且几类常见的隐式龙格库塔方法在求解微分方程时具有非常好的稳定性。因此，
研究运用龙格库塔方法求解随机微分方程的稳定性受到了越来越多学者的青睐。
注意到，为了提高龙格库塔方法在求解随机微分方程的稳定性或稳定区域，各种
各样的差分格式层出不穷，但是却并没有一种系统的方法去判断一种随机的龙格
库塔方法的稳定性。于是，如何简化判断随机龙格库塔方法的稳定性是一项值得
深入研究的课题。
本文主要研究一类具有普遍性的分裂步龙格库塔方法，同时给出其在求解随
机微分方程时达到均方稳定时的充分条件。值得注意的是，本文给出了一种运用
龙格库塔方法稳定函数直接判断随机龙格库塔方法稳定性的结论。文章具体研究
内容如下：
首先研究了分裂步龙格库塔方法求解线性随机微分方程的均方稳定性，并给
出该方法为均方稳定的充分条件。同时，基于上述充分条件，判断了几类常见的
龙格库塔方法在求解随机微分方程时的均方稳定性，给出了相应的证明。数值算
例验证了理论结果的有效性。
其次，考虑到分裂步龙格库特方法的稳定性有待提高，本文提出了改进的分
裂步龙格库塔方法。给出改进后分裂步龙格库塔方法的具体表现形式，并在此基
础上得到了该方法为均方稳定的充分条件。同样的，基于上述充分条件，判断了
几类常见的龙格库塔方法在求解随机微分方程时的均方稳定性，并给出了相应的
证明。数值算例验证了理论结果的有效性。
最后，由非线性随机微分方程应用的广泛性与一般性，在改进的分裂步龙格
库塔方法的基础上，加入了对非线性随机微分方程的均方稳定性的讨论。通过分
析证明同样可以得到改进均方稳定性的充分条件。数值算例验证了理论结