文档介绍：HUBEIFOIjYTECMNICUNIVERSITY
毕业设计
题目：刚性系统的隐式RK方法
学院：数理学院
专业名称：信息与计算科学
学号：201241210127
学生姓名：丁楠
指导教师：汪玉霞
摘要
本文主要??=[
-
-
-100
发现？符征值为：??=-100,??=-
,刚性比？？瞿二10000?1。
1?21
方程组的解为:
??(??=??00??+??.01??{??(??=??00??
快瞬态慢瞬态
解由快瞬态和慢瞬态两部分构成。
由于慢瞬态的部分，？欲？?衰减变得十分缓慢。当自变量变到？?=391时，函数值还未下降到初值的1%,求解区间至少取为(0,391)。另一方面，由于快瞬态的部分，？?(？?衰减的非常快，因此步长要取得非常小。从绝对稳定性的方面来看，如果用四阶显式经典？??？方法求解，绝对稳定区间要求？????(-,0)则要求？＜
。这样，在(0,391)上就要计算14065步，计算量巨大，因此计算区间(0,391)内的解时，舍入误差积累会特别严重。例如取求解区间为[0,1],用不同步长？来计
算？?(1)和？?(1)的值。利用四阶显式经典？???方法求解如下：
??(1)
??(1)
+17
+17
-01
-24
-01
-01
-01
-43
-44
-44
真值
-01
-44
很显然，保留八位有效数字的情况下，要保持良好的精度，步长要取得非常小，
这就增加了计算量。而随着步长的加大，误差也会越来越大。当步长加大到绝对稳
定与之外时（即？>）,计算结果就完全不可信了。对于刚性方程组，显式
方法已经远远不能胜任了，一般采用绝对稳定性更好的方法（如隐式？?????????????????
方法）进行求解，本文采用单步隐式？????????????????？而对于隐式方法中的级值得求解，本文采用？??????????？。
RK方法的研究现状
研究基于标准模型方程的？????????????????？常见形式为：
??
???+1=???+?E?????
??=1
??=????????
??-1
???=??（??+???,???+?E??????（?=2,3,…？?）
{??=1
（显式）
??
???+1=???+?E?????
??=1
??
???=??（??+???,???+?E?????>（?=1,2,3,…？?）
{??=1
（隐式）
因为？????????????如海？比较成熟的常微分方程数值解法。所以如今主要是对于经典的？??????????????雷？行完善和扩充，在一定的条件下，提高级数以提高精度。或者是将？????????????燃四？某些领域结合使用。在1994年，费景高[1]给出了一种显式？????????????????？法，从而实现？????????????????？多处理机上的应用。1997年，Enenkel和JacksorF实现了？？??？????????????？对角隐式
并行改进。1999年，廖文远和李庆扬［5］给出了一类求解刚性常微分方程的半隐式多步？????????????雄煦？2000年，张诚坚和余洪兵［3］针对非线性延迟系统构造了一类并行预校算法，给出其算法的局部误差估计，数值实验表明该算法是有效的，且具一定的可比性。2003年，李爱雄［4］通过对传统单支方法的计算格式进行改造，得到了解？??????两类单支并行算法单支并行预校算法和单支并行算法，并对方法的收敛性和稳定性做出了分析。2008年，庞丽君和朱永忠［6］给出了一类随机微分方程??????????????????指数稳定性。
.单步RK方法的收敛性和稳定性
单步RK方法的收敛性
对于常微分初值问题
?????????(?7c?公？)
{????=??
的单步显式公式
???+1=???+???(??????)(?=0,1,?,??■1)
1??=??
局部截断误差可以表示为
(?=0,1,?,??■1)
???+1=?????+1)-[?????+??????????)]
定理2[16]:
设??(??)(1)的解，｛?嫉?=>(2)的解。如果:
(1)