文档介绍：第二章解析函数§ 解析函数的概念( ) w f z ?1 复变函数的导数定义: 0 z z ?? 0 lim zwz ?????z zfzzf z??????)()( lim 0 00存在, 则称 f (z)在z 0可导, 此极限值就称为 f (z)在z 0的导数,记作 0 0 ( ) . z z dw f z dz ??或应该注意:上述定义中的方式是任意的。 0z ? ?设是邻域内任一点。若在z 0的某邻域内有定义, 从而有: 可导可微; ?可导连续。?如果 f (z)在区域 D内处处可导, 就说 f (z)在D内可导。例1求 f (z ) = z 2的导数。[解] 因为Δ 0 ( Δ) ( ) limΔ z f z z f z z ?? ? 2 2 Δ 0 ( Δ) limΔ z z z z z ?? ??Δ 0 lim(2 Δ) 2 . z z z z ?? ??所以 f'(z ) = 2 z . 复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则: 四则运算;复合求导;反函数求导等法则(即 f (z ) = z 2在复平面处处可导。) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ). f z z f z f z z o z ?? ??????? f 在z 0可导例2 问 f (z ) = x + ayi 是否可导(a为实常数)? [解]这里 0 ( ) ( ) lim z f z z f z z ?????? 0 ( ) ( ) lim z x x a y y i x ayi x yi ??????????? ?? 0 lim z x a yi x yi ??? ???? ?? 0, z x ? ???取 0 0 lim lim 1. z x x a yi x x yi x ?? ??? ?? ?? ?? ?? ? 0, z i y ? ???取 0 0 lim lim . z y x a yi a y a x yi y ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?所以 a =1 时, f (z) =z 的导数在复平面上处处存在; 否则, f (z)在复平面上处处不可导(包括). ( ) f z z ?例3 讨论 2)(zzfw??的可导性。????????z zfzzfz w)()(解: z zzz???? 22z zzzzzz???????) )((z zzzz??????:0?z )0(0???????zzz w0)0(???f :0?z 0????xz取 zzz w????? 0????yiz取 zzz w?????所以 2)(zzfw??在复平面上除原点外处处不可导。 2. 解析函数的概念函数在一点解析?在该点可导。反之不一定成立。在区域内: ? f (z ) = z 2在整个复平面上解析; 2)(zzfw??仅在原点可导,故在整个复平面上不解析; 在整个复平面上不解析。定义解析: 在 0)(zzf 0 ( ) f z z 。内解析: 在区域 D zf)( ( ) f z D 在内处处解析. Z 0称为解析点, ( ) ( 1) f z x ayi a ? ? ?例4 讨论函数 f (z )=1/ z : ?? 21 0 , dwz dz z ?? ?故 f (z )=1/ z 除z = 0 外处处解析; z = 0 是它的一个奇点。解析函数的性质: (1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数; (2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数; (3) 多项式在复平面上处处解析,有理式除分母为零的点外处处解析; (4) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析; 所有解析点的集合必为开集。如何判别解析(可导)性? 定理 f (z ) = u(x, y ) + iv(x, y ) 在区域 D内解析的充要条件是 u(x, y ) 与v(x, y ) 在D内处处可微, 且满足 C-R 方程. 定理 f (z ) = u(x, y )+ iv(x, y)在 z =x+ iy处可导的充要条件是: