文档介绍：. . .
数值分析实验报告
一、实验
题目：
考虑线性程组 Ax b ， A Rn n ， b R n ，编制一个能自动选取主元，又能手动
选取主元的求解线性代数程组的 Gauss消去过程。
6
1
7
8
6
1
15
A
b
*
T
（ 1）取矩阵
，则程有解 x
1,1, ,1 。取 n 10
，
8
6
1
15
8
6
14
计算矩阵的条件数。分别用顺序 Gauss 消元、列主元 Gauss 消元和完全选主元
Gauss消元法求解，结果如？
2）现选择程序中手动选取主元的功能，每步消去过程都选取模最小或按模尽可能小的元素作为主元进行消元，观察并记录计算结果，若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如？分析实验的结果。
3）取矩阵阶数 n=20 或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成的矩阵，计算其条件数，重复上述实验，观察记录并分析实验的结果。
z
. . .
z
. . .
算法介绍
首先，分析各种算法消去过程的计算公式，
顺序高斯消去法：
第 k 步消去中，设增广矩阵 B 中的元素 akkk 0 （若等于零则可以判定系数
k
矩阵为奇异矩阵，停止计算），则对 k 行以下各行计算 lik aikk ,i k 1,k 2, , n ，
akk
分别用 lik 乘以增广矩阵 B 的第 k 行并加到第 k
1,k
2, , n 行，则可将增广矩阵
B 中第 k 列中 akkk
以下的元素消为零；重复此法，从第
1 步进行到第 n-1 步，则
可以得到最终的增广矩阵，即 B n
A n , b n
；
列主元高斯消去法：
k
k
akk
akn
第 k
步消去中，在增广矩阵
B 中的子阵
中，选取 aikkk 使得
ankk
annk
ai kk
max aik(k) ，当 ik k 时，对 B 中第 k 行与第 ik 行交换，然后按照和顺序消去
k
k i n
法相同的步骤进行。重复此法，从第
1 步进行第 n-1 步，就可以得到最终的增广
矩阵，即 B n1
A n1 , b n1 ；
完全主元高斯消去法：
akkk
aknk
第 k 步消去中，在增广矩阵 B 中对应的子阵
中，选取 ai k
j 使
k
k
ankk
annk
得 ai kj
k
max aij(k)
，若 ik k 或 jk
k ，则对 B 中第 k 行与第 ik 行、第 k 列与第 j k 列
k
k
i n
k
j n
交换，然后按照和顺序消去法相同的步骤进行即可。重复此法，从第
1 步进行到
z
. . .
第 n