文档介绍：-
. z.
数值分析实验报告

题目：
考虑线性程组，，，编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性代数程组的Gauss消去过程。〔1〕取矩阵，，则程有解。8

3

8
8

4

8
8

5

8
8

6

8
8

7

8
8

8

8
8

9

8
8

10

从上表可以发现，对这个程组而言，顺序高斯消去选取的主元恰好事模尽量小的元素，而由于列主元和完全主元选取的元素为8，与4在数量级上差异小，所以计算过程中的累积误差也较小，最终4种法的输出结果均较为准确。
在这里，具体解释一下顺序法与模最小法的计算结果完全一致的原因。该矩阵在消元过程中，每次选取主元的一列只有两个非零元素，对角线上的元素为4左右，而其正下的元素为8，该列其余位置的元素均为0。在这样的情况下，默认的主元也就是该列最小的主元，因此两种法所得到的计算结果是一致的。
理论上说，完全高斯消去法的误差最小，其次是列主元高斯消去法，而选取模最小的元素作为主元时的误差最大，但是由于程组的特殊性〔元素相差不大并且维度不高〕，这个理论现象在这里并没有充分表达出来。
〔3〕
时，重复上述实验过程，各种法的计算结果如下所示，在这里，仍采用无穷数衡量绝对误差。
顺序高斯消去法
列主元高斯消去
完全主元高斯消去
选取模最小或尽可能小元素作为主元消去
-
. z.
*

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

-11
0
0
-11
可以看出，此时列主元和完全主元的计算结果仍为准确值，而顺序高斯消去和模尽可能小法仍然产生了一定的误差，并且两者的误差一致。与n=10时候的误差比相比，n=20时的误差增长了大约1000倍，这是由于计算过程中舍入误差的不断累积所致。所以，如果进一步增加矩阵的维数，应该可以看出更明显的现象。
〔4〕
不同矩阵维度下的误差如下，在这里，为便起见，选取2-条件数对不同维度的系数矩阵进展比较。
-
. z.
维度
条件数
顺序消去
列主元
完全主元
模尽量小
+3
-14
0
0
-14
+6
-11
0
0
-11
+7
-10
0
0
-10
+9
-08
0
0
-08
+12
-05
0
0
-05
+16
+04
-12
-12
+04
+16
+13
-3
-3
+13
从上表可以看出，随着维度的增加，不同法对计算误差的影响逐渐表达，并且增长较快，这是由于舍入误差逐步累计而造成的。不过，法二与法三在维度小于40的情况下都得到了准确解，这两种法的累计误差远比法一和法四慢；同样地，出于与前面一样的原因，法一与法四的计算结果保持一致，法二