考研数学真题点评矩阵的合同与相似.doc

文档介绍：: .
考研数学真题点评：矩阵的合同与相似
来源：文都教育
相似与合同是矩阵的两种重要关系，也是考研数学重要考点之一。今年线性代数的第二道大 题考查的就是一般方阵相似的证明。下面我们把相似与合同的判定方法，以及它们之间的关系 总结一下：
()n阶方阵A与B相似 A与B特征值相同，反之不成立
()n阶方阵A与B特征值相同，且都可对角化 n阶方阵A与B相似
()实对称矩阵 A与B相似 A与B特征值相同
()实对称矩阵A与B合同 A与B具有相同的正惯性指数和秩。
()实对称矩阵 A与B相似 实对称矩阵A与B合同，反之不成立。
()一般n阶方阵A与B相似 A与B合同
一般n阶方阵A与B合同 A与B相似
真题解析如下：
1
1
1 1
1 1
0
0
0 1
0 2
证明n阶矩阵
【证明】
1
1 1与
0
0 n
相似。
1 1
1 0
0
1
A
1 1
1 0 B
0
2
令
1 1
1 0
0
n
由I
E
A|
0得A的特征值为
1
n 1
0, n n
由I
E
B|
0得B的特征值为
1
n 1
0, n n
因为
at
A
，所以A可对角化；
对B
，因为r(°E
B) r(B)
1，所以
B可对角化，
因为A，B特征值相同且都可对角化，所以 A~ B 。