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第五章一元函数积分学
例1 :求不定积分 sin 3xdx
解：被积函数si n 3x是一个复合函数，它是由 f(u)=si nu和u = (x) =3x复合而成，因
一 1 '
此，为了利用第一换兀积分公式，我们将 sin 3x变形为sin 3x sin 3x(3x)，故有
3
1 ' 1 1
sin 3xdx sin3x(3x)dx sin3xd(3x) 3x = u (-cosu) C
L L 3 3 ' == 3
1
1 cos2t
dt
2
2
a
(t sin t cost) C
出cost-邻边m* 2
斜边
u = 3x cos3x C
dy
例4:求微分方程 『_2y =1的通解。
dx
解：原方程为可分离变量的方程，移项分离变量得
dy =dx，两端积分得：［dy = gx，得-1n2y+l|=x + G 从而
1 +2y *2y ' 2
* e 2 -
* In 2y +T =x + Gy =± e ——。
2 2 2
因为
2
仍然是常数，把它记做 C,故原方程的通解为 y =Ce
2&其中C为任意常数
例5:求微分方程 鱼 —= x2的通解
dx x
解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为
-P(x)dx
y = e ( Q(x)e
p(x)dx
dx C)
2 2
在本题中P(x) ,Q(x) =x，由通解公式知
_pdx
dx C)二 e x ( x2e x dx C)
dx
x
-p(x)dx p(x)dx
y=e (. Q(x)e
e^lnx( x2e2lnxdx C)=}( xdx C)=}( C)
x ' x 5
即原方程的通解为：讨二L
例6 :求定积分
Jx2dx
x2 5
J0
分析：设函数f (x)在区间［a ,b ］上连续，F(x)是在［a ,b ］上的一个原函数，则
b
f (x)dx = F (b) - F (a)，这就是牛顿-莱布尼茨公式。
a
x2dx =
x3
13
03
(t)把原来的变量换成了新
分析：在应用定积分换元时应注意两点：
(1) 换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用
变量t,积分限也必须也必须换成新变量 t的积分限，并且原来下限对应的参数做下
限，上限对应的参数做上限。
(2) 求出换元后的原函数 (t)后，不必像计算不定积分那样将它还原成 x的函数，只需
将新变量的上、下限带入相减即可。
解 为了去掉被积函数中的根式，令 3 X=t，即x =t3，于是dx =3t2dt，并且当x=0时,
t=0 ;当x=8时，t=2，因此由换元公式有
f-^=dx =
0 1 X
2 3t2
d-d心竺dt
0 1 t
2 1 2 2 1
= 30(t"门灿^。—1)* 0厂叫 M
3吟 -t)2+ln( 1+t)2"3ln3
1 丄
例&计算定积分 °xe d