文档介绍：会计学
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泰勒公式(gōngshì)和泰勒级数
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注 : 常用(chánɡ yònɡ)已知和函数的幂级数
(1)
(1<x<1)
(2)
(3)
(4)
(5)
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第二页，共24页。
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二、麦克劳林(Maclaurin)公式(gōngshì)
三、泰勒(tài lè)级数
一、泰勒(tài lè)公式的建立
§ 泰勒(Taylor)公式与泰勒级数
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第三页，共24页。
一次多项式
在微分(wēi fēn)的应用中有近似计算公式:
若 f (x0)存在(cúnzài), 则在 x0点附近有
f (x) = f(x0) + f (x0) (xx0)
f (x)  f(x0) + f (x0) (xx0)
+ o(xx0)
需要解决(jiějué)的问题
如何提高精度?
如何估计误差?
不足: 1. 精确度不高;
2. 误差不能定量的估计.
希望: 在x0点附近, 用适当的高次多项式
Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n
 f (x)
一、泰勒公式
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猜想(cāixiǎng)
2 若有相同(xiānɡ tónɡ)的切线
3 若弯曲方向(fāngxiàng)相同
近似程度越来越好
n次多项式系数的确定
1 若在x0点相交
Pn(x0)= f (x0)
Pn (x0)= f (x0)
Pn (x0)= f (x0)

y=f(x)
假设 Pn(k)(x0)= f (k)(x0)
y=Pn (x)
x
o
y
x0
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即有
Pn(x) =a0 +a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n
假设(jiǎshè) Pn(k)(x0)= f (k)(x0)
Pn (n) (x) =n! an
Pn (x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+···+nan(xx0)n1
Pn (x)=2a2+32a2(xx0)+···+n(n 1)an(xx0)n2

a0 = f(x0),
2a2=f (x0),
n!an=f(n)(x0),

k=0, 1, 2, 3, ···, n
令x = x0得
a1=f(x0),

a0 = f(x0),
a1=f(x0),
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k=0, 1, 2, 3, ···, n
代入Pn(x)中得
Pn(x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+ (xx0)2 + ···
+ (xx0)n
Pn(x) =a0 +a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n
称为(chēnɡ wéi)函数 f (x)在x0处的泰勒多项式.
k=0, 1, 2, 3, ···, n
称为(chēnɡ wéi)泰勒系数
f(x) = Pn(x) + o(xx0)n .
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其中(qízhōng)
定理1 (泰勒中值定理) 若函数f(x)在x0点的某邻域(lín yù)UR (x0)内具有直到n+1阶连续导数, 则当x取UR (x0)内任何值时, f (x)可按(xx0)的方幂展开为
f (x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+
( 在x0与x之间)
+Rn(x)
公式(1)称为(chēnɡ wéi)函数 f (x)在x0处的泰勒公式.
(1)
Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.
泰勒系数
k=0, 1, 2, ···, n
是唯一的.
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设 f (x)= f(x0)+f (x0)(xx0)+
k
证
由于f(x)在UR (x0)内具有(jùyǒu)n+1阶连续导数,
作辅助(fǔzhù)函数
(t)=f(x)[f(t)+f (t)(xt)+
(x)=0
=(x0),
不妨(bùfáng)设 x0<x,
则(t)在[x0, x]连续, 在(x0, x)可导,
罗尔定理知, 至少存在一点(x0, x), 使()=0,
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因
