文档介绍:概率论与数理统计 五大数定理
用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理.
切比雪夫不等式:
设随机变量 X 有数学期望 EX 及方差 DX,
则对于,下列不等式成立:
第五章 大数定理与中心极限定理
“大数定律”:
或
就 X是连续型随机变量的情况证明:
证
一、切比雪夫不等式
设X 的概率密度为
则
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你怎么称呼老师?
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点,你是否会认为老师的教学方法需要改进?
你所经历的课堂,是讲座式还是讨论式?
教师的教鞭
“不怕太阳晒,也不怕那风雨狂,只怕先生骂我笨,没有学问无颜见爹娘 ……”
“太阳当空照,花儿对我笑,小鸟说早早早……”
例1 利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于
三倍标准差的概率.
解
当X 的分布未知时,利用E(X)、D(X)可以得到关于概率
的粗略估计。
放大被积函数其值也大
放大积分区
间其值也大
[注]:
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例2 为了确定事件 A 的概率, 进行了10000次重复独立试验.
利用切比雪夫不等式估计:用事件A 在10000次试验中发生
的频率作为事件 A 的概率近似值时, .
解
设事件A 在每次试验中发生的概率为 p,
在这10000次试验
中发生了X 次,
则
因此,所求事件的概率为
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的数学期望是:
独立随机变量 的算术平均值:
二、大数定理
的方差为:
∴若方差一致有上界,则
当 n 充分大时,
随机变量
分散程度是很小的,
由此,
也就是说,
的值较紧密地聚集在它的数学期望
的附近.
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切比雪夫定理:
设独立随机变量 ,
则对于任何正数 ,恒有
分别有数学
及方差
即存在某一常数K,使得
且方差是一致有上界的,
期望
并
按概率收敛于
当 时,
按概率收敛于零。
或说
这就是说,
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证
并注意到概率不能大于1,得证.
对于随机变量
由切比雪夫不等式
所以
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若对于任何正数 ,
定义:
记作
当 时按概率收敛于数 a ,
则称随机变量
[注]:
则 的算术平均值当
期望 及方差 ,
设独立随机变量
服从同一分布,
并且有数学
时,按概率收敛于μ,
即对于任何正数 ,恒有
推论(辛钦大数定律)
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