文档介绍：求生必备知识
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第1章 插值方法
插值法是一种古老的数学方法。早在1000多年前，我载了应用一次插值和二次插值的实例。
拉格朗日（Lagrange）、牛顿（Newton）、埃特金（Aitken）分别给出了不同的解决方法。
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拉格朗日插值公式
牛顿插值公式
埃特金插值公式
存在惟一性定理
插值余项
分段三次埃尔米特插值
三次样条插值
应用实例
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拉格朗日插值公式
拉格朗日（Lagrange）插值公式(以下统称为Lagrange插值公式)的基本思想是，把pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
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图1－1 插值多项式
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=1的情况
已知函数y=f(x)在点x0,x1上的值为y0,y1，要求多项式y=p1(x)，使p1(x0)=y0,p1(x1)=y1。其几何意义，就是通过两点A(x0,y0),B(x1,y1)的一条直线，如图1－2所示。
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图1－2 一次插值多项式
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由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
它也可变形为p1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1
显然有：l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，p1(x0)=y0，p1(x1)=y1
()
其中
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我们称l0(x)为点x0的一次插值基函数，l1(x)为点x1的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取值为1，而在另外的插值点上取值为0。插值函数p1(x)是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉格朗日（Lagrange）插值。
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=2的情况
线性插值只利用两对值(x0,y0)及(x1,y1)求得y=f(x)的近似值，误差较大。
p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2
p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。
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