文档介绍：几种求极限方法的总结
摘要极限是数学分析中的重要概念,,我总结出十二种求极限的方法.
关键词定义夹逼定理单调有界无穷小洛必达泰勒公式数列求和定积分定积分数列

1 用定义求极限
根据极限的定义:数列{}收敛a,〉0,N,当n〉N时,有-a〈.
例1 用定义证明
证明:要使不等式=成立:解得n,取N=,于是 N=,,有即
2利用两边夹定理求极限
例2 求极限
解:设
则有:
同时有: ,于是由.
有
已知: ∴=1
3利用函数的单调有界性求极限
实数的连续性定理:单调有界数列必有极限.
例3 设,,(n=1,2,)(),求
解:显然是单调增加的。
, , ,
从而,显然是单调增加的,所以
两段除以,得这就证明了的有界性
设,对等式两边去极限,则有解得
4利用无穷小的性质求极限
关于无穷小的性质有三个,但应用最多的性质是:若函数f(x)(x是无穷小,函数g(x)在U(有界,则函数f(x)*g(x)(x是无穷小.
例求极限
解4
而
而故
5 应用“两个重要极限”求极限

例5求
解
∴原式=
6利用洛必达法则求极限
例6求(
解: =
例7 求极限(
解=
7利用泰勒公式求极限
例8:求极限
解∵中分子为,∴将各函数展开到含项。
当时,从而=1-

∴原式=
8利用数列求和来求极限
有时做一些求极限的题时,若对原函数先做一些变形,化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。
例9:求极限
解:令,则
-= 从而
,∴原式=
9用定积分求和式的极限
例10 设函数f(x)在上连续,且f(x),求
解令T= 于是lnT==
而
所以=
10 利用定积分求极限
利用定积分求极限可分为以下两种形式
(1)型.
定理1 设f(x)在上可积,则有: =
例12 求
解:设f(x)=x,f(x)在上可积。则==
(2)型.
定理2 设f(x)在上可积,则有=epx
例13 求
解:=
令 f(x)=x,则有==exp=
11利用数列的递推公式求极限
这种方法实际上包含有两种方法
(1)利用递推关系求出通项公式,然后求极限。这是基本的解法,它把极限的存在性与求极限问题一起解决.
例14 设=1,,3(,求
解:递推公式可化为3(
设,那么所以,=1,
将以上各式相加得