文档介绍：西京学院数学软件实验任务书
课程名称
数学软件实验
班级
数0901
学号
0912020119
姓名
王震
实验课题
非线性方程的二分法，迭代法，松弛迭代法，Aitken迭代法，Steffensen迭代法
实验目的
熟悉非线性方程的二分法，迭代法，松弛迭代法，Aitken迭代法，Steffensen迭代法
实验要求
运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成
实验内容
非线性方程的二分法
非线性方程的迭代法
非线性方程的松弛迭代法
非线性方程的Aitken迭代法
非线性方程的Steffensen迭代法
成绩
教师
【实验课题】
非线性方程的二分法，迭代法，松弛迭代法，Aitken迭代法，Steffensen迭代法
【实验目的】
熟悉非线性方程的二分法，迭代法，松弛迭代法，Aitken迭代法，Steffensen迭代法
【实验内容】
1、二分法
假定方程在区间内有唯一的实根。此时，即为有根区间。
：
首先确定有根区间，然后平分有根区间，通过判断区间端点处的函数值符号，逐步将有根区间缩小，直至有根区间足够地小，便可求出满足给定精度要求的根的近似值。
：
取，将代入方程，判断它的正负号，并用替换与它同方向的区间端点，依次循环得到：
其中，每一段的长度都是前一段长度的一半。即：
因此，如果二分过程无限进行下去，则有根区间最终必收敛于一点
，该点就是所求方程的根。
：
步骤1输入有根区间的端点,及预先给定的精度
步骤2
步骤3若,；若,则,转向步骤4；否则,转向步骤4
步骤4若,则输出方程满足精度的根,结束；否则转向步骤2
2、迭代法
：
给定方程的一个初始近似根，然后反复使用某一公式来校正这个初始近似根，使之逐步精确化，直到满足预先给定的精度要求为止。
：
取一个根的初始近似值，计算，，…，，…，得到一个迭代序列，。
若迭代序列收敛，则称迭代公式或迭代法是收敛的，否则称迭代公式是发散的。
假设迭代序列收敛于，即则当连续时，对迭代公式两边取极限，可得，即
，所以
由此表明，序列的极限就是方程的根。同样，对于预先给定的精度，只要适当大且满足就可结束计算并取。
算法步骤：
1、确定方程的等价形式
2、为使迭代过程收敛，要求在有根区间内满足
3、选取初始近似根，按迭代公式进行计算,
4、当（是预定精度）时停止计算，取
3、松弛迭代法
求解思路：
对于式子，给两边同时减去，得：
即得到迭代公式：，
上式可变形为;
令：，则：
其中为松弛因子。
4、Aitken迭代法
求解思路：
设线性收敛到，记，有
当充分大时有
（1）
（2）
其中，，将（1），（2）相除，即：
从而可求得：
令
此时得到一个新的序列它比原序列收敛得快。
5、Steffensen迭代法
求解思路：
设是根的某个预测值，用迭代公式校正一次得：
，
则有：（1）
（2