文档介绍：第三节
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的
等价条件
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格林公式及其应用
第十章
区域 D 分类
单连通区域( 无“洞”区域)
多连通区域( 有“洞”区域)
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,
则有
( 格林公式)
函数
在 D 上具有连续一阶偏导数,
或
一、格林公式
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证明:
1) 若D 既是 X - 型区域, 又是 Y - 型区域, 且
则
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即
同理可证
①
②
①、②两式相加得:
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2) 若D不满足以上条件,
则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域, 如图
证毕
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推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
格林公式
例如, 椭圆
所围面积
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例1.
设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
证: 令
则
利用格林公式, 得
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例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域.
解: 令
, 则
利用格林公式, 有
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例3. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线.
解: 令
设 L 所围区域为D,
由格林公式知
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在D 内作圆周
取逆时
针方向,
, 对区域
应用格
记 L 和 lˉ所围的区域为
林公式, 得
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