文档介绍：孙子定理一、教学目标: 、教学重点: 孙子定理的证明,孙子定理的应用三、教学难点: 孙子定理的证明思想、孙子定理的应用四、课时安排: 2个课时五、教学手段: 采用多媒体演示与讲授相结合的方法,用多媒体边演示边讲解。六、教学过程: 课程导入: 《孙子算经》、《周髀算经》与《九章算术》这三部著作是我国古代三大数学名著。新课内容: 1. 孙子问题在公元三世纪前的《孙子算经》中记载着一道世界闻名的“孙子问题”:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何? ”这道题的意思是:有一批物品,不知道有多少件。如果三件三件地数,就会剩下两件; 如果五件五件地数,就会剩下三件;如果七件七件地数,也会剩下两件。问这批物品有多少件? 它可表示成解同余式组: x? 2(mod 3), x? 3(mod 5), x? 2(mod 7) 其中 x是所求物品数。我国明朝数学家程大位在其著作《算法统综》( 1593 年)中用诗歌概括了这个问题的解法:三人同行七十稀、五树梅花二一枝、七子团圆正半月,除百零五便得知。它的意思是:把用 3除所得余数乘上 70,加上用 5除所得余数乘上 21,再加上用 7 除所得余数乘上 15 ,结果如果比 105 多,则减去 105 的倍数,即得所求之数。列成算式就是: 70? 2+21 ? 3+15 ? 2-2? 105=23 。这种解法,实际上是特殊的一次同余式组的求解定理。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的,是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶在他的《数书九章》中提出了一个数学方法“大衍求一术”,系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。 1801 年,德国数学家高斯在《算术探究》中明确提出一次同余式组的求解定理。西方数学著作中将一次同余式的求解定理称为中国剩余定理。这个方法的巧妙之处就在 70,21,15 这三个数上。 70 可被 5和7 整除,而且是用 3 除余 1 的最小正整数; 21 可被 3和7 整除,而且是用 5 除余 1 的最小正整数; 15可被 3和5整除,而且是用 7除余 1的最小正整数。 2. 孙子定理我们把孙子问题进行推广,对于同余式方程组??????????) (mod ) (mod ) (mod 22 11kkmax max max??(1) 孙子定理(中国剩余定理):设 m 1,m 2,?,m k是正整数, (mi ,m j)=1, 1?i,j?k, i?j。(2) 记m=m 1m 2?m k, M i= im m , 1?i?k, 则存在整数 M i?( 1?i?k),使得 M iM i??1 (mod m i), (3) M iM i??0 (mod m i), 1?j?k, i?j, (4) 并且 i ki iiMMax ????1 0 (mod m) (5) 是同余方程组(1) 对模 m的唯一解,即若有 x使方程组(1) 成立,则 x?x 0 (mod m)。(6) 证明: 本节开头所讲的“孙子问题”即属于 k=3 的情况. 程大位的四句诗中所包含的思想,同样也给出了当 k 为任意正整数时的求解方法。对任一 i(1 ≤i≤k),找一个数,他被 mi 除余 1, 而被其他的 mj (j≠ i)除尽,由(