线性代数知识点全归纳.docx

文档介绍：线性代数知识点
1、行列式
1. n 行列式共有 n2 个元素，展开后有 n! 项，可分解为 2n 行列式；
代数余子式的性质：
①、 Aij 和 aij 的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为
A ；
3.
代数余子式和余子式的关系：
M ij
( 1)i j Aij
Aij
( 1)i
j M ij
4.
设 n 行列式 D ：
n (n 1)
将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为
1
，则
D1 (1)2
D
；
D
n ( n 1)
将 D 顺时针或逆时针旋转 90 ，所得行列式为
D2 ，则 D2
(1)2
D ；
将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为
D3 ，则 D3
D ；
将 D 主副角线翻转后，所得行列式为
D4，则 D4 D ；
行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
n ( n 1)
②、副对角行列式：副对角元素的乘积
( 1)
2
；
③、上、下三角行列式（
◥
◣ ）：主对角元素的乘积；
n ( n 1)
④、
◤
和
◢
：副对角元素的乘积
(1)2
；
AO AC
A B
CAOA
( 1)m n A B
⑤、拉普拉斯展开式：
C B
O B
、BO BC
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
对于 n 阶行列式 A
E A
6.
，恒有：
7.
证明 A
0 的方法：
①、 A
A ；

n
n
( 1)k Sk
n k
k 1
，其中 Sk 为 k 阶主子式；
②、反证法；
③、构造齐次方程组 Ax 0 ，证明其有非零解；
④、利用秩，证明 r (A) n ；
⑤、证明 0 是其特征值；
2、矩阵
8. A 是 n 阶可逆矩阵：
EMBED
A
0 （是非奇异矩阵）；
EMBED
r ( A)
n （是满秩矩阵）
EMBED
A 的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组 Ax 0 有非零解；
EMBED
b
Rn ， Ax b 总有唯一解；
EMBED
A与 E 等价；
EMBED