文档介绍：复变函数课件
第一页，本课件共有58页
1. 导数的几何意义
2. 共形映射的概念
第一节共形映射的概念
第二页，本课件共有58页
(保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且
不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域.
证首先证明G的每一点都是内点.
设w0∈G,则有一点z0∈D,使w0=f(z0).
要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G.
即当w*与w0
充分接近时,方程w*=f(z)在D内有解.
为此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)
由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:|z-z0|=R,
显然 f(z0)-w0=0,
f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外)
C及C的内部全含于D,使得
:

内的点w*及在C上的点z有
对在邻域
*
*
第三页，本课件共有58页
因此根据儒歇定理,在C的内部
与f(z)-*=f(z)在D内有解.
由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线C:z=z(t) [t1≤t≤t2,z(t1)=z1,z(t2)=z2].于是：
就是联结w1,w2的并且完全含于D的一条曲线.
从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到
其次,要证明G中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一条完全含于G的折线联结起来.（连通性）
一条连接w1,w2,内接于 且完全含于G的折线1
总结以上两点,即知G=f(D)是区域.
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第四页，本课件共有58页
证因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数.
设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的象G=f(D)也是一个区域.
注 :“w=f(z)在扩充z平面的区域D内除可能有极点外处处解析（即为亚纯函数）,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平面上的区域.
注 =f(z)将z0的一个充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域.
设函数w=f(z)在点z0解析,且f (z0)≠0,则f(z)在z0的一个邻域内单叶解析.
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第五页，本课件共有58页
P26 光滑曲线的定义
、解析函数导数的几何意义
y
x
C
.
.
两曲线的夹角
第六页，本课件共有58页
正向: t 增大时, 点 z 移动的方向.
如果规定:
平面内的有向连续曲线C可表示为:
y
x
C
.
.
两曲线的夹角
第七页，本课件共有58页
当 p
方向与 C 一致.
C
.
.
y
x
两曲线的夹角
第八页，本课件共有58页
处切线的正向, 则有
x 轴正向之间的夹角.
C
.
y
x
两曲线的夹角
第九页，本课件共有58页
之间的夹角.
.
两曲线的夹角
第十页，本课件共有58页