文档介绍：3
2
1
三角函数图象的对称性质及其应用
观察三角函数的图象，不难发现它们都具有对称性，虽然历届高考中关于
三角函数图象的对称性问题屡有涉及，但教材中却是一个盲点。为此，本文谈谈三角函数图象的对称性质及其应用。
一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形
性质1、函数y = Asin(・•「)和y = Acos( )的图象关于过最值点且垂
直于x轴的直线分别成轴对称图形；
y =Asin(・'X •对称轴方程的求法是：令sinC’x • ，得
「X • = k (k • Z)，则 x = (2k一11————，所以函数 y = Asin< x；"。)的图
2
象的对称轴方程为x=(2k ~2 ；
2豹
y = Acos( )对称轴方程的求法是：令cos( ) - _1，得
x = （k Z），
则 X 二-
，所以函数y = Acos(‘X •「)的图象的对称轴
方程为x
例1、函数y = 3sin(2x )图象的一条对称轴方程是( )
6
,、，、 2兀兀兀
(A) x=0 (B) x (C) x (D) x =
6 3
解：由性质1知，令3sin(2x • —) = 1得2x k (k • Z)，即 6 6 2
k 二 “ r 2二「「
x (k・ Z)，取 k =1 时，x ，故选(B)。
6 3
例2、函数f(x) =lcos(3x •-)的图象的对称轴方程是
2 3
解：由性质1知，令cos(3x ) = 1得3x k二(k・Z)，即
3 3
k i i
x= (k・Z)，所以f(x)二cos(3x「)的图象的对称轴方程是
9 3
k 二
x (k Z)。
3 9
二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形
性质2、函数y =Asin(「x •「)和y = Acos( 'X「:)的图象关于其与x轴的交
点分别成中心对称图形；
3
2
3
y =Asin(「x的对称中心求法是：令 sin「'X=0，得
k-TT _半
■x =k：. (k Z)，则x ' (k Z)，所以函数y = Asin(• ‘x亠“)的图象关
k tt _ tp
于点(k ,0)(k Z)成中心对称；
c
y = Acos( )对称中心的求法是：令 cos( ■ ) = 0,得
■X 二 k (k Z)，贝卩 x 二(2k__—— (k Z)，所以函数 y = Acos( J
2 2®
的图象关于点((2k 1)二_2 ,0)(k Z)成中心对称；
2co
例3、函数y =4sin(2x -…)的图象的一个对称中心是( )
6
3T JT JT JT
(A) (—,0) ( B) (一,0) (C) (-一，0) (D) (一,0)
12 3 6 6
■JT ■JT
解：由性质2知，令sin(2x ) = 0得2x k二(k • Z)，即
6 6
k i i
x (k・z)，取 k=0 时，x ，故选(A)。
2 12 12
下
例4、函数y =2cos(—x )的图象的对称中心是
8
解：由性质2知，令cos^x-…)=0