文档介绍：基本不等式及其应用
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基本不等式及其应用
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)； (4)≥2(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
(1)设a≥0，b≥0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为.
(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
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选择题：
设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
解析 ∵x>0，y>0，∴≥，即xy≤()2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81
若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
A. B. C．2 D.
解析 由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2
若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析 2≤2x＋2y＝1，∴2x＋y≤，即2x＋y≤2－2，∴x＋y≤－2
若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为( )
A．2－ B．2＋ C．4＋2 D．4－2
解析 ＋＝＝＝1＋＝1＋≤1＋＝4－2
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，当且仅当＝，即x2＝2y2时取等号
若函数＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
解析 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3
已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若＋(m>0)的最小值为3，则m等于( )
A．2 B．2 C．3 D．4
解析 由2x－3＝()y得x＋y＝3，＋＝(x＋y)(＋)＝(1＋m＋＋)≥(1＋m＋2)，(当且仅
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A. B．4 C. D．5
解析 依题意，得＋＝(＋)·(a＋b)＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝，
当且仅当即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是
若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4
解析 由题意得∴
又log4(3a＋4b)＝log2，∴log4(3a＋4b)＝log4ab，∴3a＋4b＝ab，故＋＝1.
∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号
若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是( )
A．1 B．6 C．9 D．16
解析 ∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1，同理可得b>1，∴＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立，
∴最小值为6
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设＝lnx,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝r＜p B．q＝r＞p C．p＝r＜q D．p＝r＞q
解析 ∵0＜a＜b，∴＞，
又∵f