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斜抛运动的最佳抛射角
甘志国（该文已发表 数学通报,2011(12）:3５-3６)
文献[１］介绍了球星德拉普（Ｒorｙ Joｈn Deｌａp）:
斯托克城属于英超中的一支中下游足球队,但是该队参加的每一场比赛,往往都能成为人们关注的焦点,因为它拥有一位擅长掷远距离界外球、,他就是后卫德拉普(图1).阿森纳主帅温格曾在一场比赛前说:“德拉普的手臂太可怕了,上天保佑这场比赛中他没有掷界外球的机会.”
图1
界外球怎样才能掷得更远呢?
图２
通常会认为,以初速度、抛射角掷出的球在不计空气阻力时的运动是斜抛运动(图2）,其运动轨迹的参数方程为
①
(其中分别表示球在时刻飞行的水平距离和竖直高度,为重力加速度）由此可得球的射程为
②
公式②说明,球的射程与初速度及抛射角均有关,当一定时,当且仅当
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时射程最大.
但文献[１]还说,英国物理学家尼克·林斯纳尔却给出了否定的答案:球员把求掷得最远时,出手时的初速度与水平方向的夹角并不是,而是至.
产生这一结果的原因是:对于公式②,当为定值时,时最大;而当为定值时,,所以在时,可达到最大值,所以取到最大值也是可能的.
早在２003年,笔者就在文献［2]中阐述了这样的观点:掷球的最佳抛射角应小于．
文献［1］的出现,使笔者重新研究“斜抛运动的最佳抛射角”,并得到了漂亮的结论:
定理 如图3,以初速度、抛射角使物体作斜抛运动,当射程最大时（也即起点到落点的距离最大(因为在图3(ａ)中,在图3(b), （c）中为定值),此时的抛射角叫做最佳抛射角,此时的抛射方向是起点竖直向上的方向与形成的角的平分线,且是问题运动轨迹(抛物线）的焦点弦．
图3
证明 易知图３中抛物线的参数方程为①(其中的意义也同①中诸字母的意义)
(其中分别表示球在时刻飞行的水平距离和竖直高度,为重力加速度)化为普通方程,得
由文献[３]的结论立知,其焦点为．
即证．
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（1)图1（a)的情形．由②式可得,又,所以.
(2）图１(b）的情形(因为掷球时有一个出手高度,掷球时出手高而落点低）,用表示球运行到落点时的飞行时间,得