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热力学与统计物理课后****题答案
第六章近独立粒子的最概然分布
试根据式（）证明：在体积 V内，在到E+d￡的能量范围
内，三维自由粒子的量子态数为
解：式（）给出，在体积V L3内，在P_到P_ dP_, Py到Py dPy,P_ 到P_ dP_的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
V /八
3 dP_dPydPz. （
h
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在p到p dP范围内三维自由粒子可能的量子
态数为
(2)4 n 2^ -P
(2)
上式可以理解为将空间体积元4 Vp2dp （体积V,动量球壳4 nP2dp ）

因此
将上式代入式（2）,即得在体积V内，在到 d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
D（）d - 2m 2 #;d . （3）
h
试证明，对于一维自由粒子，在长度 L内，在到 d的
能量范围内，量子态数为
解：根据式（），一维自由粒子在空间体积元d_dp_内可能的量
子态数为

在长度L内，动量大小在P到P dp范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为
2Ldp. （1）
h
将能量动量关系代入，即得
1
D d 21 卫為. （2）
h 2
试证明，对于二维的自由粒子，在面积L2内，在到 d的
能量范围内，量子态数为
解：根据式（），二维自由粒子在空间体积元d_dydp_dpy内的量
子态数为
12 d_dydp_dpy
1
2
用二维动量空间的极坐标 p,描述粒子的动量，
为
用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为
在面积L2内，动量大小在p到p dp范围内，动量方向在到 d范围内，二维自由粒子可能的状态数为
L2 pdpd
(1)
P，
P，
与P_, Py的关系
(2)
对d积分，从0积分到2 n，有

可得在面积L2内，动量大小在p到p dp范围内（动量方向任意）维自由粒子可能的状态数为
(3)(4)誓 pdp.(3)
(4)
h
将能量动量关系代入，即有
D d M^md .h2
在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为
试求在体积V内，在 :式（）已给出在体积V内，动量大小在p到p dp范围内三维自由粒子可能的状态数为
(1)4 V 2^ 有 pdp
(1)
的能量范围内，极端相对论粒子将极端相对论粒子的能量动量关系代入，可得在体积V内，在到 d 的量子态数为
的能量范围内，极端相对论粒子
D d年ch2
D d年
ch
2d .(2)
设系统含有两种粒子，其粒子数分别为
相互作用很弱，，处在一个，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为和
其中i和i是两种粒子的能级，,体积为V时，两种粒子的分布a n,ai
E,体积为V时，两种粒子的分布
a n,