文档介绍：Jensen不等式在处理一类竞赛题不等式中的应用
杨晋
Jensen不等式【1】：假设函数y=f〔x〕是〔a，b〕上的凸函数，那么对任意x1，x2，…，xn∈〔a，b〕
都有f〔x1+x2+…+xnn〕≤f〔x1〕+f〔x2〕+…+f〔xn〕n.
其中等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.
Jensen不等式反映了凸函数的一个根本性质，，以供参考，.
例1〔2021年安徽省高中数学竞赛题〕
设正实数a，b满足a+b=1，求证：a2+1a+b2+1b≥3.
证明构造函数f〔x〕=x2+1x〔0f′〔x〕=2x-1x22x2+1x，
f″〔x〕=12x+3x44〔x2+1x〕x2+1x>0，
从而函数f〔x〕=x2+1x在0，1上为凸函数，由Jensen不等式，可得
f〔a〕+f〔b〕2≥f〔a+b2〕=f〔12〕=32，即a2+1a+b2+1b≥3，所以原不等式成立.
例2〔2021年安徽省高中数学竞赛题〕
正实数x，y，z满足x+y+z=1，求证：z-yx+2y+x-zy+2z+y-xz+2x≥0.
证明由x+y+z=1，可得x+2y=1-〔z-y〕，y+2z==1-〔x-z〕，z+2x=1-〔y-x〕，
从而原不等式化为z-y1-〔z-y〕+x-z1-〔x-z〕+y-x1-〔y-x〕≥0.
构造函数f〔m〕=m1-m，m∈〔-1，1〕，
对f〔m〕求二阶导数，那么有f′〔m〕=1〔1-m〕2，f″〔m〕=2〔1-m〕3>0，
从而f〔m〕为m∈〔-1，1〕上的凸函数，由Jensen不等式，可得
f〔z-y〕+f〔x-z〕+f〔y-x〕3≥f〔z-y+x-z+y-x3〕=0，
从而原不等式成立.
评注通过上述两例，可以看出这两道不等式题目命制中的凸函数背景.
例3〔2021年希腊奥林匹克竞赛题〕
设a，b，c均为正实数，且a+b+c=3，求证：
a2〔b+c〕3+b2〔c+a〕3+c2〔a+b〕3≥38.
证明构造函数f〔x〕=x2〔3-x〕3，x∈〔0，3〕，对f〔x〕求二阶导数，那么有
f′〔x〕=6x-x2〔3-x〕4，f″〔x〕=2〔9-x2〕+12x〔3-x〕5>0，
从而f〔x〕为〔0，3〕上的凸函数，由Jensen不等式，可得
f〔a〕+f〔b〕+f〔c〕3≥f〔a+b+c3〕=f〔1〕=18，
故有a2〔b+c〕3+b2〔c+a〕3+c2〔a+b〕3≥38.
所以原不等式成立
例4〔2021年甘肃省高中数学竞赛题〕
设a1，a2，…，an均为正实数，且a1+a2+…+an=：
〔a1+1a1〕2+〔a2+1a2〕2+…+〔an+1an〕2≥〔n2+1〕2n.
证明构造函数f〔x〕=〔x+1x〕2〔0f′〔x〕=2〔x4-1〕x3，f″〔x〕=2x4+6x4>0，
从而f〔x〕为〔0，1〕上的凸函数，由Jensen不等式，可得
f〔x1〕+f〔x2〕+…+f〔xn〕n≥f〔x1+x2+…+xnn〕=f〔1n〕=〔n+1n〕2，
即〔a1+1a1〕2+〔a2+1a2〕2+…+〔an+1an〕2≥〔n2+1〕2n.
所以原不等式成立
评注文【