文档介绍：第三节实数域和复数域 1 .实数和实数域前节所说的,用 N 中自然数序对作为新数——整数,用 Z 中整数序对作为新数——有理数, 使数系扩充的方法, 称为代数扩张. 但这种数系扩充法, 并不都是成功的; 有理数向实数的扩充,就不能套用上一节所用的代数扩张法( 因这种扩充,需对极限运算封闭). 但是从 Q 扩充到 R ,数系扩充原则和步骤,依然与前面一致. (1) 定义含有有理数域为其子域的连续域 R 称为实数域, R 的元素称为实数. 如果实数域 R 存在,它应当是由所有有理数基本列组成的序域. 事实上,设R 的任一元素 a 都是某个有理数基本列{a n} 的极限. 则存在 k∈N,使|a k - a|<1 ,从而 a<1+ |a k|. 1+ |a k| 是有理数, 有理数域是阿基米德序域, 故存在 n∈N,使n>1+ |a k|. 故有 n >a. 因此, R 是阿基米德序域. 反之,设 R 是实数域,则对于任意 a∈R及n∈N ,存在 m 1,m 2∈N ,使有上界( 例如 m 1) .又 A 非空( 至少-m 2∈ A) ,故 A 有最大数 m∈Z ,于是即 lima n=a即R 中任意数 a 都是有理数基本列的极限. 若R 1,R 2 是两个实数域,则它们的元素都是有理数基本列的极限. 现作映射 f:R 1→R 1 ,使对任意 a∈R 1 ,若 lima n =a ,{ a n }为有理数基本列,{ a n} 在R 2 中极限为 a′,则 f(a)=a ′. 易知 f是R 1到R 2 ,符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的. (2) 构造设M 中定义等价关系、加法、乘法及序如下: 对任意{ a n },{ b n}∈M. 1°{a n }~{ b n }当且仅当 lim(a n-b n )=0 ; 2°{a n }+{ b n }={ a n+b n }; 3°{a n}·{b n }={ a n·b n }; 4°{a n }<{ b n }当且仅当存在有理数ε>0 ,及 n 0∈N ,使当 n>n 0 时, b n-a n> ε. 由有理数的性质知, 上述基本列的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律. 所定义的基本列的序,是全序. 作商集 M /~= R 0 ,在 R 0 中定义等价类的加法、乘法及序如下: 对任意α,β∈R 0 ,{ a n}∈α,{ b n}∈β, 1° 若{ a n+b n}∈γ,则规定α+β=γ; 2° 若{ a n·b n}∈ρ,则规定α·β=ρ; 3° 若{ a n }<{ b n} ,则规定α<β. 不难验证,这样定义的运算及序与代表元的选取无关; R 0 中加法、乘法满足结合律、交换律和分配律. 若α>0 ,称α为正元;若α<0 ,,β,存在 n∈N ,使 nα>β. 因此, R 0 是阿基米德序域. (3) 嵌入设R 1是R 0 中所有有理常数列{ a }所代表的类的集合, R 2是R 0 中其余的类所组成的集合,则 R 0 =R 1∪R 2. 作映射 f:R 1→Q,使 f({a} )=a .则f 是同构映射, 因而(R 1;+,·,<)与(Q ;+,·, <) 同构. 作集合 R=Q ∪R 2,R 中的运算由 f 2 中的实数,,将正实数集合记为 R +. 实数集 R 的若干性质. 1° 有理数集 Q在R 中处处稠密对任意两实数 a,b ,若 a<b ,则必存在 c∈Q,使 a<c<b. 2° 连续统实数集 R 与直线上点集 R 1 : 在直线 l 上取 O 点为原点, OA 为单位,A 点所在半直线为正向, 建立直线坐标系第一次,以 OA 为单位,从O 点开始, 向左、右两边等分直线, 得第一批分点( 与单位端点重合的点) ,它们对应全体整数. 划分直线,得第 n 批分点,其中 p∈N +,p>1, n=2 ,3,…. 这样所得分点,连同第一批分点,对应全体有理数. 现令第n 批分点中两个相邻分点之间( 包括两端点) 所有点组成之集为第n 级子区间Δ n, 于是, 直线 l 上每一点 B, 如果它不是某一批分点, 它便包含于一系列子区间Δ n 之中, 这些Δ n 形成一个区间套{ Δ n }: 实数 b .这时规定 B与b 对应. 建立直线坐标系的直线 R 1 称为数直线, 或实直线, 或连续统; 在它上面已不再有“洞”. 由于实数集 R 与实直线 R 1 等价,以后不再区别 R与R 1. 3° 实数表示成无尽小数形式由上可知,每一个实数都可以表示成 p : 设a 为正实数,它对应 R