文档介绍：量子力学习题(三年级用) 北京大学物理学院二 OO 三年 1 第一章绪论 1、计算下列情况的 Broglie de?波长,指出那种情况要用量子力学处理: (1)能量为 eV .025 0 的慢中子??克 2410 67 1 ????. n ;被铀吸收; (2)能量为 a MeV 的 5 粒子穿过原子克 2410 64 6 ????. a ; (3)飞行速度为 100 米/秒,质量为 40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对,如果两光子的能量相等, 问要实现这种转化,光子的波长最大是多少? 3 、利用 Broglie de?关系,及园形轨道为各波长的整数倍,给出氢原子能量可能值。 2 第二章波函数与波动力学 1、设????为常数 a Ae x xa 222 1???(1)求归一化常数(2).?p?,x x?? 2、求 ikr ikrer er ????? 11 21和的几率流密度。 3 、若??, Be eA kx kx????求其几率流密度,你从结果中能得到什么样的结论?(其中 k 为实数) 4、一维运动的粒子处于???????????00 0x x Axe x x 的状态,其中,0??求归一化系数 A和粒子动量的几率分布函数。 5、证明:从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的,即求证 0????其中???/j 6、一维自由运动粒子,在 0?t 时,波函数为???? x,x??? 0 求:?)t,x(?? 2 3 第三章一维定态问题 1、粒子处于位场?? 00 00 00???????VxV xV 中,求: E> 0V 时的透射系数和反射系数(粒子由右向左运动) 2、一粒子在一维势场????????????0 00 0x ax xV )x( 中运动。(1)求粒子的能级和对应的波函数; ( 2)若粒子处于)x( n?态,证明: ,/ax2???.n axx?????????? 22 226112 3、若在 x轴的有限区域,有一位势,在区域外的波函数为如DSASB DSASC 22 21 12 11????这即“出射”波和“入射”波之间的关系, 4 证明: 0 1 1 22 21 12 11 222 221 212 2 11????????SSSS SS SS 这表明 S是么正矩阵 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数?????????????axV ax xV X000 0 5、求粒子在下列位场中运动的能级?????????????02 1 0 22xx xV X 6、粒子以动能 E入射,受到双?势垒作用????)ax()x(VV x????? 0 求反射几率和透射几率,以及发生完全透射的条件。 7、质量为 m 的粒子处于一维谐振子势场)( 1xV 的基态, 02 1 21??k kx V )x( ( 1)若弹性系数 k 突然变为 k2 ,即势场变为 5 22 kx V )X(?随即测量粒子的能量,求发现粒子处于新势场 2V 基态几率; (2)势场 1V 突然变成 2V 后,不进行测量,经过一段时间?后,势场又恢复成 1V , 问?取什么值时,粒子仍恢复到原来 1V 场的基态。 8、设一维谐振子处于基态,求它的 22xp,x??,并验证测不准关系。 6 第四章量子力学中的力学量 1、若??)z,y,x(zyxVpppH????? 2222 1 证明: ,x Vi]P,H[ x????, pi]x,H[ x???? 2、设?? q)q(f,ip,q是??的可微函数,证明( 1)??, ihpf )q(fp,q2 2?( 2)??;fpi )q(fp,p ?? 22? 3、证明0???]]B ?,A ?[,C ?[ ]]A ?,C ?[,B ?[ ]]C ?,B ?[,A ?[ 4、如果, BA ?, ?是厄密算符(1)证明???? B ?,A ?i,B ?A ? n?是厄密算符; ( 2)求出 B ?A ?是厄密算符的条件。 5、证明:???????????????????A ?,L ?,L ?,L ?! ,A ?,L ?,L ?! A ?,L ?AeA ?e L ?L3 12 1 6、如果 B,A 与它们的对易子?? B ?,A ?都对易,证明?? B ?,A ?BA ?B ?Aeee 2 1????(提示,考虑??,eee)(f B ?A ?B ?A ??????????证明?? fB,Ad df???然后积分) 7 7、设?是一小量,算符 1?A ?A ?和存在,求证???????????????????1112121111A ?B ?A ?B ?A ?A ?A ?B ?A ?A ?)B ?A ?( 8、如 niu 是能量 nE 的本征函数( 为简并指标 i ),证明??????0