文档介绍：矩阵相似性质与应用研究报告
矩阵相似性质与应用研究报告
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矩阵相像的性质与应用的研究
前言
矩阵相像的理论是数学剖析的重要观点之一，同时也是教学设计中的难点之一，特别是矩阵相像与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，常常将这两个问题紧凑的联系在一同。矩阵相像的观点是为深入研究矩阵特征而提出的，此中一部分的问题能够转变为与一个对角化矩阵相像问题从而使问题研究简化，而另一些矩阵不可以与一个对角矩阵相像，那么这种问题就只好用定义或许若而当标准型来解决。
因为矩阵相像的应用范围相当宽泛。本文主假如从矩阵相像定义以及各样性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够互相交融起来，更有益于学****者的掌握和应用。
矩阵相像的定义与基天性质
矩阵相像的定义
令为非奇怪矩阵，观察矩阵的线性变换
令线性变换的特点值为，对应的特点向量为，即
将式代入上式，即有或
令或，则式能够写作
比较和两式可知，矩阵 A 和拥有同样的特点值，并
且矩阵 B 的特点向量是矩阵的特点向量的线性变换，即。因为
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矩阵和的特点值同样，特点向量存在线性变换的关系，所以称这
两个矩阵“相像”。于是：
设、都是阶方阵，如有可逆方阵，使，则称是的相
似矩阵。或许说矩阵与相像。对进行运算称为对进行相像变
换。可逆矩阵称为把变为的相像变换阵。
矩阵相像的一些基天性质：
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自反性：。
对称性：则

。
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传达性：

及

可得：

。
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假如阶矩阵 , 相像，则它们有同样的特点值。但抗命题不建立。
相像矩阵此外的一些特征：
1>相像矩阵有同样的秩。
2>相像矩阵的队列式相等。
3>相像矩阵或都可逆，或都不行逆。当它们可逆时，它们的逆也相像。
4> 则，、、 <若，均可逆）、
从而，有同样的特点值。
相像对角矩阵的有关性质
矩阵可相像对角化的引入与定义
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与
变换

设是复数域上的维线性空间，是的一个线性变换。又
是的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是
在这两组基下的矩阵与相像，即

。则线性
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我们自然会问：矩阵选用第二组基

能否相像与一个对角形矩阵？换言之，能否能够适合的
，使得线性变换在这组基下的矩阵是个对角矩阵
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呢？我们逐渐解决这个问题。
第一假想矩阵能相像与一个对角矩阵，即设
(1>
因此有
(2>
若把写成分块矩阵
，
这里代表的个列向量。应用矩阵乘法例则，简单考证
，
故由 (2> 式可得
(3>
或
。
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