文档介绍：第一章傅里叶积分变换积分变换简介所谓积分变换,实际上就是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数的一种变换. 这类积分一般要含有参变量,具体形式可写为: ??????Fdttftk ba?????记为),( 这里?? tf 是要变换的函数, 称为原像函数;???F 是变换后的函数, 称为像函数;???,tk 是一个二元函数,称为积分变换核. 数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题, 求解后, 再求其逆运算就可得到原问题的解. 如,初等数学中,曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算; 再如, 高等数学中的代数变换, 解析几何中的坐标变换, 复变函数中的保角变换, 其解决问题的思路都属于这种情况. 基于这种思想, 便产生了积分变换. 其主要体现在: 数学上: 求解方程的重要工具; 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上: 是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.§ 傅里叶级数与积分 1 .傅里叶级数的指数形式在《高等数学》中有下列定理: 定理设?? tf T 是以?? 0 T T ? ??为周期的实函数,且在, 2 2 T T ? ??? ?? ?上满足狄利克雷条件,即?? tf T 在一个周期上满足:(1) 连续或只有有限个第一类间断点;(2) 只有有限个极值点. 则在连续点处,有?????????? 1 0 sin cos 2 n nnTtnbtna atf??(1) 其中?? dttfT a TTT??? 22 01 ,?????,2,1 cos 1 22????n tdt ntfT a TTTn?,?????.2,1 sin 1 22????n tdt ntfT b TTTn?, 在间断点 0t 处, (1) 式右端级数收敛于???? 2 00 00???tftf TT . 又2 cos ??? iiee ???,i ee ii2 sin ??????,. 于是???????????????????? 1 0222 n t int inn t int innTi eeb eea atf ??????????????????? 1 0222 n t innn t innne ibae ibaa ??令,2 00ac?2 nnn ibac ??,2 nnn ibac ???,,,3,2,1??n 则???????? n t innTectf ????? 2 2 0 1 2 1 2 i t i t in t i t i t in t n n c c e c e c e c e c e c e ? ? ????? ? ?? ? ?? ? ?????????????????????(2) (2 )式称为傅里叶级数的复指数形式,具有明显的物理意义. 容易证明 nc 可以合写成一个式子,即?????,2,1,0 1 22??????? ndtetfT c t in TTTn ?. (3) 2 .傅里叶积分任何一个非周期函数?? tf , 都可看成是由某个周期函数?? tf T 当T→+∞时转化而来的. 即?? tf TT??? lim?? tf?. 由公式(2) 、(3) 得???? t in n TT inTTedefT tf ???????????????????? 221 , 可知???? t in n TT inTTedefT tf ??????????????????????? 221 lim , 令1, ????? nnnnn?????,则T ?? 2?或nT???? 2 . 于是???? tin TT iTTedefT tf ??????????????????????? 221 lim?? n tin TT iTedef?????????????????????????? 22 02 1 lim , 令???? tii TTTnTedef ????????][2 1 22 ????, 故?? tf?? nn nT?????????????0 lim . (4) 注意到当,0?? n?即?? T 时,???? tiinnTedef ??????????][2 1)( ????????. 从而按照积分的定义,(4 )可以写为: ?? tf???????????d , 或者???????????dedeftf tii????????????][