文档介绍：积分变换简介
所谓积分变换,实际上就是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数的一种
,具体形式可写为:
这里是要变换的函数,称为原像函数;是变换后的函数,称为像函数;是一个二元函数,称为积分变换核.
数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题,求解后,再求其逆运算就可得到原问题的解. 如,初等数学中,曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算; 再如,高等数学中的代数变换,解析几何中的坐标变换,复变函数中的保角变换,
,: 数学上:求解方程的重要工具; 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上:是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.
§ 傅里叶级数与积分
在《高等数学》中有下列定理:
设是以为周期的实函数,且在上满足狄利克雷条件,即在一个周期上满足:(1)连续或只有有限个第一类间断点; (2)只有有限个极值点. 则在连续点处,有
(1)
其中,
,
,
在间断点处,(1)式右端级数收敛于.
又,,.于是
令, , 则
(2)
(2)式称为傅里叶级数的复指数形式,具有明显的物理意义.
容易证明可以合写成一个式子,即
. (3)
任何一个非周期函数, 都可看成是由某个周期函数当T→+∞时转化而来的. 即
.
由公式(2) 、(3)得
,
可知
,
令,则或.
于是
,
令
,
故
. (4)
注意到当即时, .
从而按照积分的定义,(4)可以写为:
,
或者
. (5)
公式(5)称为函数的傅氏积分公式.
若在(-∞, +∞)上满足条件:
(1) 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积,即收敛, 则(5)在的连续点成里; 而在的间断点处
应以来代替.
上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明,当满足傅氏积分定理条件时,公式(5)
可以写为三角形式,即
(6)
§ 傅里叶积分变换
上一节介绍了:当满足一定条件时,在的连续点处有:
.
从上式出发,设
(1)
则
(2)
称(1)式,即为的傅里叶变换简称傅氏变换,记为
F.
称(2)式,即为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换,记为
F[].
(1)式和(2)式,定义了一个变换对和也称为的像函数;为的原像函数,还可以将和用箭头连接: .
例1 ,在工程中常遇到.
解:根据定义, 有
====.
,有
注意到, 上式可得
.
因此
例2 求的傅氏变换其中---钟形脉冲函数.
解: 根据定义, 有
,
.
这里利用了以下结果: .
如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式
,,
以及和的表达式
,,
由此引出以下术语: 在频谱分析中, 傅氏变换又称为的频谱函数, 而它的模称为的振幅频谱(亦简称为谱). 由于是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 因此对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱. 显然,振幅函数是角频率的偶函数, 即,的辐角称为相角频谱, 显然
,
相角频谱是的奇函数.
例3 求单个矩形脉冲函数的频谱图.
解:,
频谱为.
请画出其频谱图.
以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用,更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍!
§ 单位脉冲函数
在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外,还有集中于一点或一瞬时的量,例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数,把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。单位脉冲函数,又称狄拉克(Dirac)函数,简记为一函数,便是用来描述这种集中量分布的密度函数.
下面我们通过两个具体的例子,说明这种函数引入的必要性.
1在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流, 以表示上述电路中的电荷函数, 则
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
,
所以, 当时, 0;当时,由于不连续, 从而在普通导数意义下, 在这
一点是不能求导数的. 如果我们形式地计算这个导数, 得
(),
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为此, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数. 有了这种函数, 对于