文档介绍：.
1.【2018浙江21】如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线
C: y2 4x上存在不同的两点 代B满足PA,PB的中点均在C上。
（1） 设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
2
（2） 若P是半椭圆X2 壬 1（x 0）上的动点，求 PAB面积的取值范围
4
1 2 1 2
解析：（1）设叽心（4%,心（卩小2）
AP中点满足：（穿）2 4（
2
2 y1
Xo
2
BP中点满足：BP：（ 2
yo y2)2
2
Xo
4(一
2
y2
4
2
所以y1,y2是方程（昭）2
2
Xo
4(一
2
工
4
2
2 2
)即 y 2y°y 8x° y 0 的两
个根，所以业匕 yo，故PM垂直于y轴。
2
o
A
M
F
urn FA
2
3
(y。2 4x。)2
因此，Spab M||yi y2| 晋
因此， PAB面积的取值范围是[6、、2, ]
4
1 2 2 3 2
所以 | PM | 一(％ y2 ) xo yo 3x°,|yi
8 4
y2 | 2 2( yo2 4xo)
2
因为 X。2 也 1(Xo 0)，所以 yo2 4xo 4x°2 4x°
4
4 [4,5]
线段AB的中点为 M (1,m)(m 0)
2
2.【2018全国3理20】已知斜率为k的直线I与椭圆C: —
4
2
丄 1交于代B两点,
3
(1)证明：k 1 ；
2
uuu
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点且FP
等差数列，并求出该数列的公差
uuu r uuu uuu uuu
FB 0，证明：FP, FA,FB 为
(2)由(1)可知 yi y2 2丫0,% y? 8x° y°
解析：(1)由中点弦公式k koM
h厶
2，解得k
a
3
4m
3 1
又因为点m在椭圆内’故0 m 2，故k乙
uur uuu uuuu uuu
(2)由题意知 FA FB 2FM ,FP
uuuu
2FM，故 P(1, 2m)
因为点P在椭圆上，代入可得 m -,k
4
uuu 3
1, 即 |FP| 2
线段AB的中点为 M (1,m)(m 0)
线段AB的中点为 M (1,m)(m 0)
根据第二定义可知,
uuu 1 uuu 1
| FA I 2 -x1,| FB | 2 -x2
2 2
uuu uuu 1
I FA | | FB| 4 -(X1 X2)
2d
uuu uuu 1
I|FA| |FB|1 1|X1 X2|
X2)
4x1x2
代入得2d
£
14
3、、21
28
2 X
2
y
1
1
1
0 X1 X2 2, X1X2
联立4
3
7x2 14x
7
4
28
y
X
—
4
urn
uuu
1
即 | FA |
|FB|
4
7(X1 X2)
2
3
uuu
uuu
uuu
uuu uuu uuu
故满足2
|FP|
|FA|
I |FB|，所以
FP, FA, FB为等差数列
设其公差为d，因为AB的位置不确定，则有
线段AB的中点为 M (1,m)(m 0)
线段AB的中点为 M (1,m)(m 0)
1交于A,B两点,
2 2 X y 3.【2018全国3文20】已知斜率为k的直线I与椭圆C :— —
4 3
线段AB的中点为 M (1,m)(m 0)
(1)证明：k -;
2
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点且
uuu uuu uuu
2|FP| |FA| |FB|。
2 解析：(1 )设 A(x-, y-), B(x2,y2)，则乞
4
FP FA FB 0，证明
2
2
2
yi
i,X2 -
y2 i，因为k
y2
yi
3
4
3
X2
X
uur urn uuu r
(得到一个等量