文档介绍：《导数及其应用》知识点总结
f(X2)- f(X1)
x2 _为
、导数的概念和几何意义
函数的平均变化率:函数 f(x)在区间[x1, x2]上的平均变化率为:
导数的定义:设函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义,Xo・=(a,b),若 x无限趋近于 0时,比值
厘二f (x0 x) —f (xo)无限趋近于一个常数 a,则称函数f (x)在x =xo处可导,并称该常数A为函数f (x)在
.x ix x =Xo处的导数,记作f(X。)。函数f(x)在X =xo处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
求函数导数的基本步骤:( 1 )求函数的增量 勺= f(x。「x) - f(x。); ( 2 )求平均变化率:
f (x。. :x) — f(Xo) ;( 3)取极限,当、x无限趋近与 0时,f (Xo x) - f (x°)无限趋近与一个常数 a,则
X X
f(X。)= A .
导数的几何意义:
函数f(X)在X 处的导数就是曲线 y二f(X)在点(Xo, f(Xo))处的切线的斜率。由此,可以利用导数求
曲线的切线方程,具体求法分两步:
求出y = f(x)在Xo处的导数,即为曲线 y = f(x)在点(心十(怡))处的切线的斜率;
在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为 y —yo =f(Xo)(x —Xo)。
当点P(Xo, yo)不在y = f (x)上时,求经过点P的y = f(x)的切线方程,可设切点坐标,由切点坐标得到
切线方程,再将P点的坐标代入确定切点。 特别地,如果曲线y = f(x)在点(xo,f(xo))处的切线平行与y轴,
这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为 X=Xo。
导数的物理意义:
质点做直线运动的位移 S是时间t的函数S(t),则V =S(t)表示瞬时速度,a = v (t)表示瞬时加速度。
、导数的运算
常见函数的导数:
C〉0(C为常数);
(x2) =2x ;
(6)(Z)f=-与;
x x
(8) (xa)二 a( a 为常数);
(9) (ax) =axlna(a .0,a/);
(11) (ex) =ex;
(13) (sin x)二cosx ;
(10) (logaX) Jlogae 1 (a .0,a = 1); x xln a
(12) (lnx)" = g ;
(14) (cosx) = _sin x。
函数的和、差、积、商的导数:
[f(x) _g(x)]~f (x)_g(x);
[Cf (x)] =Cf (x) (C 为常数);
[f(x)g(x)r =f (x)g(x) f(x)g (x);
[ f(x)f (x)g(x) 一 f (x)g (x) )[g(x)] - g2(x)
(g(x)= 0)。
简单复合函数的导数:
若 y = f (u), u =ax b,贝V yx = yu q,即比=% a。
三、导数的应用
求函数的单调性:
利用导数求函数单调性的基本方法:设函数 y二f(x)在区间(a,b)内可导,
如果恒f (x) .0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数;
如果恒f (x) :::0,则函数y =f(x)在区间(a,b)上为减函数;
如果恒f