文档介绍：第四章常微分方程
4． 1 基本概念和一阶微分方程
内容要点
一．基本概念
1．常微分方程
含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数
是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微
分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。
2．微分方程的阶
微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶
3．微分方程的解、通解和特解
满足微分方程的函数称为微分方程的解；
通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；
通解有时也称为一般解但不一定是全部解；
不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4．微分方程的初始条件
要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。
5．积分曲线和积分曲线族
微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一
族曲线就称为该方程的积分曲线族。
6．线性微分方程
如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，
则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零
的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。

(1)方程形式:
dx
P x dx
(注：在微分方程求解中, 再加)<br****惯地把不定积分只求出它的一个原函数,
而任意常数另外
(2)
方程形式:
M 1 x N1y dx M 2 x N 2 ydy 0
通解
M1 x dx
M2 x
N^dy
N1 y
M2
0N

(1)齐次方程— dx
令上
x
dy
则—— dx
du
x —
dx
du
f u u
dx
In
|x|
dy
⑵最
ax
by
0,b
令 ax by
…du
则—a dx
bf
du
bf u
dx x
(3)
dy
dx
a1x b1y
c1
a?x b2 y c2
①当
ai
a2
b1
b2
0情形，先求出
a1x
a?x
b〔y
b2 y
c2
0的解
0
ai bi 一
dv a〔 u bi v
则—— f f - 属于齐次方程情形
du a2u b2v . v
a2 b2 - u
a b〔 “
②当 o情形，
a? b2
a1 “
dy aix biy ci
T
dx ax b1y c2
令 u aix biy ,
w du , dy u ci
贝 U — a〔 bi a〔 bj T
dx dx u c2
属于变量可分离方程情形。

. 一阶线性齐次方程
dy
P x y 0
dx
它也是变量可分离方程，通解公式 y Ce Pxdx, （c为任意常数）
. 一阶线性非齐次方程
dy
P x y Q x dx
用常数变易法可求出通解公式
令 y C x e P x dx
代入方程求出C x
则得 y e Pxdx Q xe Pxdxdx C
.贝努利方程
dy ^ …
P x y Q x y 0,1 dx 令z y1
dz
把原方程化为—1 P x z 1 Q x dx
再按照一阶线性非齐次方程求解。
.方程：曳一1一 dx Q y Pyx
dx
可化为一 Pyx Q y dy
以y为自变量，x为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。
（数学一）

P x, y dx Q x,y dy 0 ,满足
通解：u x, y C ,
其中 u x, y 满足 du x,y P x, y dx Q x, y dy
求u x,y的常用方法。
第一种：凑全微分法
du x, y
P x, y dx Q x, y dy
把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。
(1)xdx ydy
2 2
(2) xdx
x y ydy d -
2
(3) ydx xdy d xy ；
通解u x,y C。
(4)
ydx xdy
xy