文档介绍：第四章常微分方程§、未知函数和未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程,若未知函数是一元函数则称为常微分方程,而未知函数是多元函数则称为偏微分方程,我们只讨论常微分方程,故简称为微分方程,有时还简称为方程。、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解;通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解;通解有时也称为一般解但不一定是全部解;不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。,对应函数与各阶导数取指定的值,这种条件称为初始条件,满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。;而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。,而且它们的系数只是自变量的函数或常数,则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项,自由项为零的线性方程称为线性齐次方程;自由项不为零的方程为线性非齐次方程。(1)方程形式:通解(注:在微分方程求解中****惯地把不定积分只求出它的一个原函数,而任意常数另外再加)(2)方程形式:(1)齐次方程令,则(2)令,则(3)①当情形,先求出的解令,则属于齐次方程情形②当情形,令则令,则属于变量可分离方程情形。,通解公式,(为任意常数)。:可化为以为自变量,为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。(数学一),满足通解:,其中满足求的常用方法。第一种:凑全微分法把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流,就很有帮助。(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12);(13);(14);(15);(16);第二种:特殊路径积分法(因为积分与路径无关)第三种:不定积分法由得对求导,得,(约当因子法)设不是全微分方程。不满足但是存在使得为全微分方程,也即满足则称为约当因子,按全微分方程解法仍可求出通解。这种情形,求约当因子是关键。乙典型例题5432考研论坛(bbs.)。(1)(2)。(1)(2)(3)(4)解:(1)令,则,原方程化为,(注:)(2);令,则,(3),令,则,,(4)令,则,。。。(1)(2)(3)(4)解:(1)直接用常数变易法对应的齐次线性方程为,通解令非齐次线性方程的通解为代入方程得,故所求方程的通解为(2)直接用通解公式(先化标准形式),通解(3)此题不是一阶线性方程,但把看作未知函数,看作自变量,所得微分方程即是一阶线性方程,(4)此题把看作未知函数,看作自变量所得微分方程为,,§(数学四不要),则,原方程——一阶方程,设其解为,即,则原方程的通解为。令,把看作的函数,则把,的表达式代入原方程,得——一阶方程,设其解为即,则原方程的通解为。,其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。