文档介绍：量子力学教程(jiàochéng)第八讲
第一页，共19页。
*
1. 量子力学的力学量与厄米算符的关系；厄米算符的本征函
数组成正交完备集；
2．在什么情况下力学量具有(jùyǒu)确定值；力学量可能值、概率、
平均值的计算方法，两个力学量同时具有(jùyǒu)确定值的条件。
学****xuéxí)内容
重点(zhòngdiǎn)
重点难点
第1页/共18页
第二页，共19页。
*
本征函数的正交性
属于厄米算符的不同本征值的本征函数相互正交。
Prove:
厄米算符本征函数的正交性
解得
本征值方程
力学量算符的本征值方程：
本征值：F1，F2，F3 ……组成本征值谱
本征函数： ……组成本函数系
厄米算符的本征值为实数
第2页/共18页
第三页，共19页。
*
由厄米算符的定义：
时
当
有
当
时
有
正交性
归一
可见函数系构成一正交归一函数系。
（1）线性谐振子能量算符的本征函数
Ex
厄米算符本征函数的正交性（续１）
构成正交归一系
第3页/共18页
第四页，共19页。
*
（2）角动量分量算符的本征函数
构成正交归一函数系
（3）角动量平方算符的本征函数
（4）氢原子能量算符的本征函数
厄米算符本征函数的正交性（续２）
构成正交归一函数系
第4页/共18页
第五页，共19页。
*
综合(zōnghé)上述三式，可合写成
正交归一条件
组成正交归一函数系
厄米算符本征函数的正交性（续３）
第5页/共18页
第六页，共19页。
*
厄米算符本征函数的正交性（续4）
注意(zhù yì)
（1）以上(yǐshàng)的讨论假定了本征值为分立谱。若本征值为连续谱，本征函数的正交归一性应写成
例如(lìrú)动量算符的本征函数的正交归一条件为
第6页/共18页
第七页，共19页。
*
（2）前面的讨论假定本征值所属的本征函数均不相等，若的本征值是度简并的，则属于
的本征函数有个：
且
此意谓着:一般(yībān)情况下这f 个函数不正交，但可由它们重新进行线性组合
仍是属于本征值的本征函数
第7页/共18页
第八页，共19页。
*
正交归一化条件
此共有个确定的关系式，但的个数，故可以有许多种方法选择，使函数满足上述正交归一化条件式。
综合上述讨论可作如下结论(jiélùn)：厄米算符的本征函数总可取为正交归一化的，并可构成正交归一完备函数系。
第8页/共18页
第九页，共19页。
*
算符与力学(lì xué)量的关系
1．力学量测量(cèliáng)值与力学量算符本征值的关系
设为力学量算符
本征值：（本征值谱)
本征函数：（正交归一完全函数系）
当体系处于的本征态时，
表示的力学量有确定值，该值就是在态中的本征值，即
（1）
将写成
当体系不是处于的本征态，而是处于任一个态
，这时与它所表示的力学量之间的关系如何？
第9页/共18页
第十页，共19页。