文档介绍：2007年高考数学试题导数
2、(安徽文20)设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1,将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式;
(Ⅱ)诗论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.
本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题的综合能力.
解:(I)我们有

.
由于,,故当时,达到其最小值,即
.
(II)我们有.
列表如下:
极大值
极小值
由此可见,在区间和单调增加,在区间单调减小,极小值为,极大值为.
4、(福建理 22)已知函数
(Ⅰ)若,试确定函数的单调区间;
(Ⅱ)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;
(Ⅲ)设函数,求证:.
本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、.
解:(Ⅰ)由得,所以.
由得,故的单调递增区间是,
由得,故的单调递减区间是.
(Ⅱ)由可知是偶函数.
于是对任意成立等价于对任意成立.
由得.
①当时,.
此时在上单调递增.
故,符合题意.
②当时,.
当变化时的变化情况如下表:
单调递减
极小值
单调递增
由此可得,在上,.
依题意,,又.
综合①,②得,实数的取值范围是.
(Ⅲ),
,
,

由此得,
故.
9、(湖北理 20)已知定义在正实数集上的函数,,,有公共点,且在该点处的切线相同.
(I)用表示,并求的最大值;
(II)求证:().
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
解:(Ⅰ)设与在公共点处的切线相同.
,,由题意,.
即由得:,或(舍去).
即有.
令,
当,即时,;
当,即时,.
故在为增函数,在为减函数,
于是在的最大值为.
(Ⅱ)设,
则.
故在为减函数,在为增函数,
于是函数在上的最小值是.
故当时,有,即当时,.
16、(全国二理 22)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:.
解:(1)求函数的导数;.
曲线在点处的切线方程为:
,
即 .
(2)如果有一条切线过点,则存在,使
.
于是,若过点可作曲线的三条切线,则方程

有三个相异的实数根.
记 ,
则
.
当变化时,变化情况如下表:
0
0
0
极大值
极小值
由的单调性,当极大值或极小值时,方程最多有一个实数根;
当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根;
当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根.
综上,如果过可作曲线三条切线,即有三个相异的实数根,则
即 .
18、(山东理 22)设函数,其中.
(Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(Ⅱ)求函数的极值点;
(Ⅲ)证明对任意的正整数,不等式都成立.
解:(Ⅰ)由题意知,的定义域为,
设,其图象的对称轴为,
.
当时,,
即在上恒成立,
当时,,
当时,函数在定义域上单调递增.
(Ⅱ)①由(Ⅰ)得,当时,函数无极值点.
②时,有两个相同的解,
时,,
时,,
时,函数在上无极值点.
③当时,有两个不同解,,,
时,,,
即,.
时,,随的变化情况如下表:
极小值
由此表可知:时,有惟一极小值点,
当时,,
,
此时,,随的变化情况如下表:
极大值
极小值
由此表可知:时,有一个极大值和一个极小值点;
综上所述:
时,有惟一最小值点;
时,有一个极大值点和一个极小值点;
时,无极值点.
(Ⅲ)当时,函数,
令函数,
则.
当时,,所以函数在上单调递增,
又.
时,恒有,即恒成立.
故当时,有.
对任意正整数取,则有.
所以结论成立.
27、(浙江理 22)设,对任意实数,记.
(I)求函数的单调区间;
(II)求证:(ⅰ)当时,对任意正实数成立;
(ⅱ)有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立.
本题主要考查函数的基本性质,导数的应用及不等式的证明等基础知识,.
(I)解:.
由,得
.
因为当时,,
当时,,
当时,,
故所求函数的单调递增区间是,,
单调递减区间是.
(II)证明:(i)方法一:
令,则
,
当时,由,得