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利用不等式“ x R,ex x 1”解决高考压轴题
呼和浩特市第二中学
郎砺志
“xR,exx1”这一结论频繁地出现在与导数相关的各种教辅材料中，
可以说学生很熟悉这个不等式的结论和证明过程，但是大多数人可能仅仅把它
当成是一道练****题，殊不知，就是这样一个看似不起眼的结论，却撑起了近
5
年高考理科数学导数试题（压轴题）的半边天，所以本文的主要内容就是：分
析近几年高考导数试题，诱发新的解题线索，提供高效而实用的解题方案，最
后给出2013年全国理科数学新课标卷第
21题的一种新解法。
,ex
x1.
可以从两个角度证明这个命题的正确性。
角度1. 构造函数
证明：设 f(x) ex x 1,x R，则f(x) ex 1
令f(x)ex1=0，解得x0，
则当x
(
,0)时，f(x)
0
，f(x)单调递减；
则当x
(0,
)时，f(x)
0
，f(x)单调递增；
于是由单调性可知，f(x)min
f(x)极小=f(0)0
，即xR,ex
x1。

在同一坐标平面内作出两个函数 f(x) ex,g(x) x 1的图象，如下图所示，
证完！
由上图可知，这个不等式实际上反映的是曲线 f(x) ex和其图象上的点
(0,1)处的切线图形的高低关系。
于是这里得到，
定理 . x R,ex x 1，当且仅当 x 0时取等号。
由上面的定理可以立即得到，
[0,),ex
1x
1
x2
2
证明：让我们换一套思路证明它，
tR,et
t1，则xR,
x
x
(1x)dt，
etdt
0
0
根据牛顿-莱布尼茨公式可得
ex
1
x
1x2，证完！
2
这里要点明，这个结论实际上在高等数学中是显然的，根据函数的幂级数
展开可得，
ex
1x
x2
x3
1x
1x2,x[0,).。
2!
3!
2
推论2.
x
R
,lnx
x1，当且仅当x
1时取等号。
证明：由定理
可得，
x
R,ex1
x，两边同时取以e为底的对数得，
lnx
x
1，当且仅当x
1时取等号。
推论3.
x
[1,
),lnx
1(x
1).
2
x
证明：
t[1,
),lnt
t
1，则
x
[1,
x
x
),lntdt
(t1)dt，
1
1
化简可得推论 3.
接下来就是高考试题的分析。
题1（2010年全国理科数学Ⅱ卷第
22题节选）
设函数f(x)
1
ex.
求证：当x
1时，f(x)
x。
x
1
x，只须证明：