文档介绍：第2章数学规划方法
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2021/12/26 星期日

数学规划
（1）数学规划概述
研究对象：数值最优化问题
分支：线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化和整数规划、随机规划、模糊规划、非光滑优化、多层规划、全局优化、变分不等式与互补问题等。
（2）一般形式

（3）数学规划问题的表述
求满足约束条件的x*，使成为最优，而将x*称为数学规划问题的最优解，将称为最优值。
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线性规划
（1）线性规划概念(Linear programming)
针对数学规划，如果决策变量为可控的连续变量，且目标函数和约束函数都是线性的，则称此类数学规划问题为线性规划问题。
（2）基本性质
比例性
要求每个决策变量在目标函数和约束函数中，其贡献与决策变量的值存在直接比例性。
可加性
指所有决策变量对目标函数和约束函数的贡献是相互独立的（包括正向贡献和负向贡献），目标函数值等于每个决策变量各自对目标函数贡献的总和。
确定性
指线性规划中所有目标函数和约束函数中的系数都是确定的常数，不含随机因素。
连续性
指所有的决策变量取值为连续的数。

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整数规划
（1）整数变量
决策变量是整数，如电视产量，人的数量。
（2）整数规划问题（Integer Programming，IP）
在数学规划中，某些决策变量是整数变量的问题。
（3）整数变量的分类
一般离散型整数变量，即取值为多个离散整数的变量，如产品个数等。
0-1变量，即取值为0或者1的变量，如表示某一经济、管理活动是否执行等。

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目标规划
目标规划（Goal Programming，GP）概念
解决多目标决策的定量分析的数学规划方法。

非线性规划
非线性规划（Nonlinear Programming，NLP）概念
若某一数学规划问题的目标函数和约束函数中至少有一个是非线性的，则称此类数学规划为非线性规划。
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线性规划的建模，是将语言文字上的问题转化为线性规划问题。
线性规划的建模从内容上主要包括三部分：
决策变量的识别与描述
目标函数的识别与描述
约束条件的识别与描述

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决策变量的识别与描述
决策变量
指运筹学问题或系统中待确定的某些变量，是决策方案的主要组成部分。
范例
牛奶厂生产计划制定问题

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某奶制品加工厂用牛奶生产甲、乙两种奶制品;
;
。
预计生产出的甲、乙能够全部售出；
每千克甲获利32元，每千克乙获利16元。
加工厂每天能得到80桶牛奶的供应；
每天A车间的最大生产能力为640工时；
B车间的最大生产能力为500工时。
试为该厂制定生产计划，使得每天的获利最大。

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决策变量的识别：
这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要做的决策是制定生产计划，即每天生产多少千克的甲奶制品和乙奶制品。
决策变量的定义：
设每天生产x1千克甲奶制品，x2千克乙奶制品。

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目标函数的识别与描述
目标函数是最优化标准或评价方法的数学描述，通常表示为决策变量的函数。在线性规划中，目标函数是决策变量的线性函数。
范例中的目标是使每天的获利最大，设每天的获利为z元。每千克甲可获利32元，则x1千克甲可获利32 x1元。每千克乙可获利16元，则x2千克乙可获利16 x2元，故目标函数可表示为：