矩阵分析ChapterOneSection6-10.ppt

文档介绍：矩阵分析ChapterOneSection6-10
我们称 为线性变换 在基 下的矩阵表示。
进一步，任取 ，设
那么有
因此
设 中线性变换 将基
变为基
（1）求线性变换 在基 下的矩阵表示
（2）求向量 在基
下的坐标。
（3）求向量 在基 下的坐标。
解：容易求得
因此 在 下的坐标为
更进一步，不难发现 到 的过渡矩阵为

因此 在 下的坐标为
在 的坐标为
对于有限维的线性空间 ，线性变换 在不同基下的矩阵表示有什么关系？对于线性空间 已知两组基 ， 而且
那么有

设 ， 为 阶 矩阵，如果存在
的满秩矩阵 ，使得
则称 与 相似， 记为 ～ 。
性质：
（1）自反性： ～
（2）对称性：若 ～ ，则 ～
（3）传递性：若 ～ 且 ～ ，
则 ～
§ 有限维线性空间同构
对于给定的两个线性空间 和 ，若存在一一对应的线性映射 ，
则称 为 到 的同构映射， 称 与 同构。
同构的基本性质：
定理 数域 上的两个有限维线性空间同构当且仅当两个线性空间的维数相同。
思考：如何证明？
§ 线性变换的特征值与特征向量

设 是数域 上的线性空间 的一个线性变换，如果 中存在一个非零向量 使得

那么称 为 的一个特征值，而 称为 的属于特征值 的一个特征向量。
现在设 是数域 上的 维线性空间，
中取定一个基 ，设线性变换 在这组基下的矩阵表示为 ，向量 在这组基下的坐标是 ， ，那么我们有