文档介绍：精品文档
精品文档
1
精品文档
二分类Logistic回归模型
在对资料进行统计分析时常遇到反应变量为分类变量的资料，那么，能否用类似于线
性回归的模型来对这种资料进行分析呢？答案是肯定的。本章将向大家介绍对二分类因变量进行回归建模的Logistic回归模型。
第一节模型简介
一、模型入门
在很多场合下都能碰到反应变量为二分类的资料，如考察公司中总裁级的领导层中是
否有女性职员、某一天是否下雨、某病患者结局是否痊愈、调查对象是否为某商品的潜在消费者等。对于分类资料的分析，相信大家并不陌生，当要考察的影响因素较少，且也为分类
变量时，分析者常用列联表
(contingencyTable)的形式对这种资料进行整理，并使用
2检验
来进行分析，汉存在分类的混杂因素时，
还可应用Mantel-Haenszel
2检验进行统计学检验，
这种方法可以很好地控制混杂因素的影响。
但是这种经典分析方法也存在局限性，
首先，它
虽然可以控制若干个因素的作用，
但无法描述其作用大小及方向，
更不能考察各因素间是否
存在交互任用；其次，该方法对样本含量的要求较大，当控制的分层因素较多时，
单元格被
划分的越来越细，列联表的格子中频数可能很小甚至为
0，将导致检验结果的不可靠。最后，
检验无法对连续性自变量的影响进行分析，而这将大大限制其应用范围，无疑是其致使
的缺陷。
那么，能否建立类似于线性回归的模型，对这种数据加以分析？以最简单的二分类因
变量为例来加以探讨，为了讨论方便，常定义出现阳性结果时反应变量取值为 1，反之则取
值为

0

。例如当领导层有女性职员、下雨、痊愈时反应变量

y 1，而没有女性职员、未下
精品文档
精品文档
15
精品文档
雨、未痊愈时反应变量

y 0。记出现阳性结果的频率为反应变量

P(y

1)。
精品文档
精品文档
15
精品文档
首先，回顾一下标准的线性回归模型：
精品文档
精品文档
15
精品文档
Y

1x1

mxm
精品文档
精品文档
15
精品文档
如果对分类变量直接拟合，则实质上拟合的是发生概率，参照前面线性回归方程

，很
精品文档
精品文档
15
精品文档
自然地会想到是否可以建立下面形式的回归模型：
P 1x1 mxm
显然，该模型可以描述当各自变量变化时，因变量的发生概率会怎样变化，可以满足
分析的基本要求。实际上，统计学家们最早也在朝这一方向努力，并考虑到最小二乘法拟合时遇到的各种问题，对计算方法进行了改进，最终提出了加权最小二乘法来对该模型进行拟合，至今这种分析思路还偶有应用。
既然可以使用加权最小二乘法对模型加以估计，为什么现在又放弃了这种做法呢？原因在于有以下两个问题是这种分析思路所无法解决的：
精品文档
精品文档
15
精品文档
（1）取值区间：上述模型右侧的取值范围，或者说应用上述模型进行预报的范围为整
个实数集(
,)，而模型的左边的取值范围为
0P1，二者并不相符。模型本身不能
保证在自变量的各种组合下，因变量的估计值仍限制在
0～1内，因此可能分析者会得到这
种荒唐的结论：男性、30岁、病情较轻的患者被治愈的概率是
300%！研究者当然可以将此
结果等价于
100%可以治愈，但是从数理统计的角度讲，这种模型显然是极不严谨的。
（2）曲线关联：根据大量的观察，反应变量
P与自变量的关系通常不是直线关系，而
是S型曲线关系。这里以收入水平和购车概率的关系来加以说明，当收入非常低时，收入
的增加对购买概率影响很小；但是在收入达到某一阈值时，
购买概率会随着收入的增加而迅
速增加；在购买概率达到一定水平，绝大部分在该收入水平的人都会购车时，
收入增加的影
响又会逐渐减弱。如果用图形来表示，则如图
1所示。显然，线性关联是线性回归中至关重
要的一个前提假设，而在上述模型中这一假设是明显无法满足的。
图1S型曲线图
以上问题促使统计学家们不得不寻求新的解决思路，如同在曲线回归中，往往采用变
量变换，使得曲线直线化，然后再进行直线回归方程的拟合。那么，能否考虑对所预测的因
变量加以变换，以使得以上矛盾得以解决？基于这一思想，又有一大批统计学家在寻找合适
的变换函数。终于，在 1970年，Cox引入了以前用于人口学领域的 Logit 变换(Logit
Transformation)，成功地解决了上述问题。
那么，什么是Logit变换呢？通常的把出