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第32讲 平面向量的数量积
:…冲圾•…
1 •若向量 a = (1,1), b= (2,5), c= (3, x)满足条件(8a— b) c= 30,则 x= (C)
A • 6 B • 5
C. 4 D • 3
£33 由已知 8a— b= 8(1,1) — (2,5)= (6,3),
所以(8a— b) c= 6X 3 + 3x= 30,所以 x= 4.
t i t V3 i
2. (2016 新课标卷川)已知向量 BA=(2‘ "7), BC =(云,?)，则/ ABC = (A)
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 120°
EES 因为 BA=g,于),BC =(于,2,
所以 |BA|= 1, |BC|= 1,
BA BC _^3
|BA| |BCI 2
bA BC = 23+ 23x 2= 23,
所以 cos/ABC = cos〈 BA, EBC>
因为 0°<〈 BA, BC> w 180°,
所以/ABC =〈 BA, BC>= 30°
3. 平面向量a与b的夹角为60° a = (2,0), |b|= 1，则|a+ b|= (B)
A. 3 B. .7
C. 3 D. 7
堪3 |a+ b|2= a2 + 2a b+ b2
=|a|2+ 2|a||bCos 60 ° |bf
1
=4+ 2X 2X 1 X+ 1 = 7,
故 |a+ b|=. 7.
4. 若|a|= |b|= 1, a丄b,且2a + 3b与ka — 4b也互相垂直，则 k的值为(B) A . — 6 B. 6
C. 3 D. — 3
噩3因为2a+ 3b与ka — 4b垂直，
所以(2a + 3b) (ka— 4b) = 2ka2— 12b2+ (3k — 8)a b
=2k— 12= 0, 解得k= 6.
5. (2017新课标卷川)已知向量a= (— 2,3), b= (3, m)，且a丄b,贝U m= 2 .
£3显因为 a= (— 2,3), b= (3, m)，且 alb,
所以 a b= 0,即一 2X 3+ 3m= 0,解得 m= 2.
6. (2017 天津卷)在厶 ABC 中，/ A = 60° AB= 3, AC = 2若 BD = 2DC , AE=瓜C — AB
~> -> 3
(入€ R)，且AD AE=— 4,贝V入的值为
由题意，知 |AB|= 3, |AC|= 2,
—AB)
AB AC = 3X 2X cos 60 ° 3,
AD = AB + BD = AB+ 3BC= AB +
3
1 T 2 T
= 1ab+3ac，
所以AD AE =
2 t t t
+ 3AC) (4C— AB)
1 2 T T 1 T 2
=〒AB AC — 3AB +
=x 3 — 1x 32 + 22
3 3 3
11
=亍 5=— 4，
1 1
|a|= 1, a b=彳，(a — b) (a+ b) = $. ⑴求a与b的夹角；
⑵求a — b与a + b的夹角的余弦值.
1
(1)因为(a — b) (a+ b) = 2，
所以 |af - |bf = 2,
又因为|a|= 1，