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（二）双曲线 知识点及巩固复****br/>双曲线的定义
如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数 （小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线
若一个动点到两定点距离之差等于一个常数， 常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支
F1，F2 为两定点， P 为一动点， (1)若||PF1 |-|PF 2||=2a
0<2a<|F1F2| 则动点 P 的轨迹是
②2a=|F 1F2| 则动点 P 的轨迹是
③2a=0 则动点 P 的轨迹是
(2) 若|P F1|-|PF 2 |=2a
0<2a<|F1F2| 则动点 P 的轨迹是
②2a=|F 1F2| 则动点 P 的轨迹是
③2a=0 则动点 P 的轨迹是
双曲线的标准方程
双曲线的性质
（1）焦点在 x 轴上的双曲线
标准方程
x,y 的范围
顶点 焦点 对称轴 对称中心
实半轴的长 虚半轴的长 焦距
离心率 e= 范围 e 越大双曲线的开口越 e 越小双曲线
的开口越
准线 渐近线 焦半径公式 |PF1|=
|PF2|= (F 1，F2 分别为双曲线的左右两焦点， P 为椭圆上的
一点 )
（1） 焦点在 y 轴上的双曲线
标准方程
x,y 的范围
顶点 焦点 对称轴 对称中心
实半轴的长 虚半轴的长 焦距
离心率 e= 范围 e 越大双曲线的开口越 e 越小双曲线
.
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的开口越
准线 渐近线 焦半径公式|PF1|=
|PF2|= (F 1 ，F2 分别为双曲线的下上两焦点， P 为椭
圆上的一点 )
1. 等轴双曲线： 特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直
③离心率为
共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线
特点①有共同的渐近线②四焦点共圆
双曲线 的共轭双曲线是
双曲线系
（ 1） 共焦点的双曲线的方程为 (0<k<c 2,c 为半焦距 )
（ 2） 共渐近线的双曲线的方程为
例题
在运用双曲线的定义时， 应特别注意定义中的条件 “差的绝对值 ”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支
考点 1、双曲线定义
例 1、已知动圆 M 与圆 C1： (x＋4)2＋y2＝ 2 外切，与圆 C2：(x－ 4)2＋ y2＝2 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程
【例 2】若椭圆 与双曲线 有相同的焦点 F1，
F2 ，P 是两条曲线的一个交点，则 |PF 1| ·|PF 2| 的值是 （ ）
A. B. C. D.
.
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【例 3】 已知双曲线 与点 M（ 5， 3）， F 为右焦点，若双曲线上有一点 P，使
最小，则 P 点的坐标为
考点 2、求双曲线的方程
求双曲线标准方程的方法
1．定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应
a、b、c 即可求得方程．
2．待定系数法
(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线
x2
y2
＝1
有共同渐近线的双曲线方程可表示为
x2
－
y2
＝t(t≠ 0)；
－
a2
b2
a2
b2
②若双曲线的渐近线方程是
b
x2
y2
y＝±a ，则双曲线的方程可表示为
a2－b2＝ t(t≠0)；
x
x2
y2
＝ 1 共焦点的方程可表示为
x2
y2
2
2
③与双曲线
a2
b2
a2－k
－
b2＋ k
－
＝1(－ b
＜k＜a )；
④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为
x2
y2