文档介绍：第七章线性变换
1． ? 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） ? 在线性空间
V 中，A
,其中
V 是一固定的向量；
BYC A X +AY，
A(k X )= B(kX ) k( BXC ) k A X ，故 A 是 P n n 上的线性变换。
,取直角坐标系 oxy, 以 A 表示将空间绕 ox 轴由绕 oy 轴向 ox 方向旋转 90 度的变换 ,以 C 表示绕 oz 轴由 ox 向

oy 向 oz 方向旋转 90 度的变换 ,以 B 表示 oy 方向旋转 90 度的变换，证明：
A4=B 4=C 4=E,AB BA,A 2B2=B 2A2，并检验 (AB)2=A2B2 是否成立。
解任取一向量 a=(x,y,z) ，则有
1)
因为
Aa=(x,-z,y),
A 2
a=(x,-y,-z) ， A 3 a=(x,z,-y),
A 4
a=(x,y,z) ，
Ba=(z,y,-x),
2
a=(-x,y,-z) ， B
3
4
a=(x,y,z) ，
B
a=(-z,y,x),
B
Ca=(-y,x,z),
C 2
a=(-x,-y,z) ， C 3 a=(y,-x,z),
C 4
a=(x,y,z) ，
所以 A4=B4=C4=E。
2)
因为 AB (a)=A(z,y,-x)=(z,x,y) ， BA (a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x) ，
所以 AB
BA 。
3)因为 A
2
2
2
2
2
2
B
(a)= A
(-x,y,-z)=(-x,-y,z) ， B
A
(a)=B (x,-y,-z)=(-x,-y,z) ，
所以 A2
B
2
=B
2
A
2 。
因为 (AB ) 2 (a)=( AB )(AB (a))_= AB (z,x,y)=(y,z,x) ，A 2 B 2 (a)=(-x,-y,z) ，
所以(AB)2
A2B2。
P[x]
中， A
f ( x)
f '
(x), B
f (x)
xf (x) ，证明 :AB-BA=E
。
证任取 f ( x)
P[x] ，则有
(AB-BA ) f ( x) =AB f (x) -BA f ( x) =A ( xf ( x)) -B(
f ' (x)) = f ( x)
xf ;
(x) - xf '
(x) = f ( x)
所以
AB-BA=E 。
A,B 是线性变换，如果
AB-BA=E
，证明： A k B-BA
k = k A k 1
(k>1) 。
证采用数学归纳法。当
k=2 时
A 2 B-BA 2 =(A 2 B-ABA)+(ABA-BA
2 )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=
2a，结论成立。
归纳假设
k m
时结论成立，即 A m
B-BA = m A
m 1 。则当
k m 1
m
时，有
m 1
B-BA
m 1
m 1
m
BA)+(A
m
m 1
m
m
m
m
m 1
A
=(A
B-A
BA-BA)=A (AB-BA)+(A
B-BA
)A=A
E+ m A
A=
(m
1) A m 。
即 k
m
1 时结论成立 .故对一切 k
1 结论成立。
：可逆变换是双射。
证设 A
是可逆变换，它的逆变换为
A
1 。
若 a b
，则必有 Aa Ab，不然设 Aa=A b，两边左乘
A 1 ，有 a=